1G(,0)，求k的取值范围。 8由题意椭圆的离心率
c1? ?a?2c ?b2?a2?c2?3c2 a2x2y2∴椭圆方程为2?2?1??2分
4c3c32()3122?c?1 又点(1,)在椭圆上 ?2? ?1224c3cx2y2??1??4分 ∴椭圆的方程为43?x2y2?1??（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2) 由?4 3?y?kx?m??e?消去y并整理得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0??6分 ∵直线y?kx?m与椭圆有两个交点
??(8km)2?4(3?4k2)(4m2?12)?0，即m2?4k2?3??8分
8km4km3mP?MN(?,)??9分 又x1?x2?? 中点的坐标为
3?4k23?4k23?4k211设MN的垂直平分线l'方程：y??(x?)
k83m14km12?p在l'上 ???(??)4k?8km?3?0 即223?4kk3?4k81?m??(4k2?3)??11分
8k1(4k2?3)222?k??4k?3将上式代入得 22064k即k?5555或k?? ?k的取值范围为(??,?)?(,??)
10101010
课后练习:
1.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则
A.1
B.－1 C.－
y的最小值为( C ) x?23
D.以上都不对
23x2y22.已知P(x,y)在椭圆??1上,若A点坐标为(3,0),|AM|?1且PM?AM?0,
2516则|PM|的最小值是 3 。
??????????3.（08江西卷7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( C )
6
122A．(0,1) B．(0,] C．(0,) D．[,1)
2224.(06全国Ⅰ)抛物线y??x2的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是( A )
A.
43
B.73
C.
8 5
D.3
5.（2009四川卷）已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y2?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C.
1137 D.516【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 解析：直线l2:x??1为抛物线y2?4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2?4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1:4x?3y?6?0的距离，即dmin?|4?0?6|?2，故选择A。
5x226. （2010福建理数）7．若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a>0)的中心和左焦点,点P为双
a????????曲线右支上的任意一点,则OP?FP的取值范围为 ( )
A．[3-23,??) B．[3?23,??) C．[-【答案】B
77,??) D．[,??) 44x2?y2?1，【解析】因为F(?2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a?1?4，即a?3，所以双曲线方程为322????x02x0222?y0?1(x0?3)，解得y0??1(x0?3)，因为FP?(x0?2,y0)，设点P(x0,y0)，则有33????????????x024x022?1??2x0?1，此二次函数对应OP?(x0,y0)，所以OP?FP?x0(x0?2)?y0=x0(x0?2)?33????????3的抛物线的对称轴为x0??，因为x0?3，所以当x0?3时，OP?FP取得最小值
4????????4?3?23?1?3?23，故OP?FP的取值范围是[3?23,??)，选B。 3 7
x2y27.（2010四川理数）（9）椭圆2?2?1(a?b??)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上
ab存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）??0,??w_w_w.k*s 5*u.c o*
2??1??1?2?1,1 （D）?,1? ? （B）?0,? （C） ??2??2??2??答案：D
x2y28.（06福建）已知双曲线2?2?1(a?0，b?0)的右焦点为F，若过点F且
ab倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( C )
A.?1,2? B.?1,2? C.?2,??? D.?2,???
9.如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A(1,0),M为圆上一动
点，点P在AM上，点N在MC上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,点N的轨迹为 曲线E （I）求曲线E的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间）， 求
FGFH取值范围
解：（I）?AM?2AP,NP?AM?0. ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又
x2?y2?1. ?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2. 2（II）当直线GH斜率存在时，
x2设直线GH方程为y?kx?2,代入椭圆方程?y2?1,
21得(?k2)x2?4kx?3?0.2由??0得k2?3. 2设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1?x2??4k3 ,x1x2?11?k2?k222由题意可知：设FG??FH,求?的范围即为所求?(x1,y1?2)??(x2,y2?2) ?x1??x2,2?x1?x2?(1??)x2,x1x2??x2.?(x1?x22xx2)?x2?12， 1??? 8
?4k23)11?k2?k2?2?2,整理得2?(1??)(31616,?4??.323?32k21????1. 316(1??)2?
1?3(2?1)2k?4???1?k2???2?161.解得???3. 33又?0???1,又当直线GH斜率不存在，方程为x?0,FG?综上:?1?取值范围为: ?,1? FH?3?FG11FH,??. 33x2y2??1的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B,D两点，10.（07全国Ⅰ）已知椭圆32过F2的直线交椭圆于A,C两点，且AC?BD，垂足为P．
22x0y0??1； （Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，
22由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0?y0?1， 2222y0x0y0x21?≤???1． 所以，32222（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y?k(x?1)，
x2y2??1，并化简得(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0． 代入椭圆方程326k23k2?6设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1?x2??2，x1x2?
3k?23k2?243(k2?1)BD?1?k?x1?x2?(1?k)???(x2?x2)?4x1x2???3k2?2；
222因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为?1， k 9
?1?43?2?1?43(k2?1)k??所以，AC?． ?212k?33?2?2k四边形ABCD的面积
124(k2?1)2??(k2?1)296S?BDAC?≥?．
2(3k2?2)(2k2?3)?(3k2?2)?(2k2?3)?225??2??当k?1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k?0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S?4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为
296． 25x2y2y2x2附加题:我们把由半椭圆2?2?1 (x≥0)与半椭圆2?2?1 (x≤0)合成的曲线称作“果圆”，
abbc222其中a?b?c，a?0，b?c?0．
y B2 如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点．
（1） 若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的
方程；
A1 . F . . O M . F 20A2 x F1 y2x2（2）设P是“果圆”的半椭圆2?2?1(x≤0)上任意一
bc点．求证：当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标． 0)，F10，?b2?c2，F20，b2?c2， 解：（1）? F0(c，?F0F2?B1 ?????b237?c2??c2?b?1，F1F2?2b2?c2?1，于是c2?，a2?b2?c2?，
4444所求“果圆”方程为x2?y2?1(x≥0)，y2?x2?1(x≤0)．
73y)，则 （2）设P(x，a?c??b2?2|PM|??x???y??1?2c2???22?2(a?c)2?b2，?c≤x≤0， ?x?(a?c)x?4?b22 ?1?2?0，? |PM|的最小值只能在x?0或x??c处取到．
c
10
即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处．
x2y2 （3）?|A1M|?|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)和半椭圆
aby2x2x2y2?2?1(x≤0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)上的情2bcab形即可．
c2?a2(a?c)?(a?c)2a2(a?c)2a?c??222?． |PM|??x???y?2?x???b?224a2c4c2????22a(a?c)a2(a?c)2a≤2cx? 当x?，即时，的最小值在时取到， |PM|≤a2c22c22a2(a?c)此时P的横坐标是． 22ca2(a?c)?a，即a?2c时，由于|PM|2在x?a时是递减的，|PM|2的最小值在x?a时 当x?22c取到，此时P的横坐标是a．
a2(a?c)综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是； 22c若a?2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或?c．
11