常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
1、试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
dy(1)?x2?y;dx23dy?dy?(2)x???2?4x;dxdx??2(3)x解 (1)(2)(3)(4)
dy?dy??2???5xy?0;(4)cos(y??)?lny?x?1.2dx?dx?是一阶线性微分方程，因方程中含有的
dy和y都是一次. dx是一阶非线性微分方程，因方程中含有的是二阶非线性微分方程，因方程中含有的
dy的平方项. dxdy的三次方. dx是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数cos(y??)和lny.
2、设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度T与时间t的函数关系为
T?T(t), 则可建立起函数T(t)满足的微分方程
dT??k(T?20) dt其中k(k?0)为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意, T?T(t)还需满足条件 Tt?0?100.
3、设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F等于物体的质量m与物体运动的加速度?成正比，即F?m?，若取物体降落的铅垂线为x轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是t?0，物体下落的距离x与时间t的函数关系为x?x(t)，则可建立起函数x(t)满足的微分方程
d2x?g 2dt其中g为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
根据题意，x?x(t)还需满足条件
dx?0. dtt?0x(0)?0,4、验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程
dy?ycotx?2xsinx?0 dx的通解, 并求满足初始条件y|x??2?0的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将y?(x2?C)sinx求一阶导数,得
dy?2xsinx?(x2?C)cosx, dx把y和
dy代入方程左边得 dxdy?ycotx?2xsinx?2xsinx?(x2?C)cosx?(x2?C)sinxcotx?2xsinx?0. dx因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故y?(x2?C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件yx??2?2?C, C??. ?0代入通解y?(x?C)sinx中，得0?442?2?2?2??x. 从而所求特解为 y???x?4?sin??第二节 一阶微分方程
1、形如 的微分方程为可分离变量的微分方程；
形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程；
形如 的方程称为一阶线性微分方程. 当 时, 这个方程称为一阶齐次线性方程，它的通解为 ；当 时, 这个方程称为一阶非齐次线性方程，它的通解为 . 解: 形如
dy?f(x)g(y)的微分方程为可分离变量的微分方程； dx形如
dy?y??f?? 的一阶微分方程称为齐次微分方程； dx?x?dy?P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程. 当Q(x)?0, 这个方程称为一阶dx??P(x)dx形如
齐次线性方程，它的通解为y?Ce. 当Q(x)?0, 这个方程称为一阶非齐次线性方
程，它的通解为y??Q(x)e?P(x)dxdx?Ce??P(x)dx. 2、求微分方程dx?xydy?ydx?ydy的通解. 解 先合并dx及dy的各项,得y(x?1)dy?(y2?1)dx 设y2?1?0,x?1?0,分离变量得
y1dy?dx
x?1y2?12??两端积分
?ydy?y2?1?11dx得 ln|y2?1|?ln|x?1|?ln|C1| x?12于是 y2?1??C12(x?1)2记C??C12,则得到题设方程的通解 y2?1?C(x?1)2. 3 、已知f?(sin2x)?cos2x?tan2x, 当0?x?1时, 求f(x). 解 设y?sin2x,则cos2x?1?2sin2x?1?2y,
sin2xsin2xytanx???. 221?ycosx1?sinx2所以原方程变为f?(y)?1?2y?y1,即f?(y)??2y?. 1?y1?y?1??1?y)?C, dy??y2?ln(?2y?所以 f(y)????1?y??故 f(x)??[x2?ln(1?x)]?C(0?x?1). 4、求解微分方程
dyyy???tan满足初始条件yx?1?的特解. dxxx6ydydu,则?u?x,
dxdxx解 题设方程为齐次方程,设u?代入原方程得u?xdu1?u?tanu,分离变量得cotudu?dx. dxx两边积分得ln|sinu|?ln|x|?ln|C|，sinu?Cx,
将u?yy回代，则得到题设方程的通解为sin?Cx.
xx1y1利用初始条件y|x?1??/6,得到C?.从而所求题设方程的特解为sin?x.
x22225、求解微分方程y?xdydy?xy. dxdx2?y???2dyy?x?,（齐次方程） ??解 原方程变形为
ydxxy?x2?1xduu2yduudydu?,即x令u?,则y?ux,?u?x,故原方程变为u?x?. dxu?1dxdxdxu?1xdx?1?分离变量得?1??du?.两边积分得u?ln|u|?C?ln|x|或ln|xu|?u?C.
x?u?回代u?yy,便得所给方程的通解为 ln|y|??C.
xx6、求方程y??1sinxy?的通解. xx解 P(x)?1sinx,Q(x)?,于是所求通解为 xx?11?dx?sinxdxsinxlnx?1??xx???e?lnx?y?e?edx?C?edx?C???(?cosx?C). ?????x??x?x 7、求方程
dy2y??(x?1)5/2的通解. dxx?1解 这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.
dy2dxdy2?由?lny?2ln(x?1)?lnC?y?C(x?1)2. ?y?0?yx?1dxx?1用常数变易法,把C换成u,即令y?u(x?1)2,则有
dy?u?(x?1)2?2u(x?1), dx2(x?1)3/2?C, 3代入所给非齐次方程得u??(x?1)2/1,两端积分得u?回代即得所求方程的通解为
?2?y?(x?1)2?(x?1)3/2?C?.
?3?
第三节 可降阶的二阶微分方程
1、求方程y???e2x?cosx满足y(0)?0,y?(0)?1的特解. 解 对所给方程接连积分二次,得
y??12xe?sinx?C1, (1) 21y?e2x?cosx?C1x?C2, (2)
4在(1)中代入条件y?(0)?1,得C1?从而所求题设方程的特解为
15,在(2)中代入条件y(0)?0,得C2??, 24115y?e2x?cosx?x?.
424d2ydy?0的通解. 2、求方程(1?x)2?2xdxdx2d2ydpdy,于是题设方程降阶为解 这是一个不显含有未知函数y的方程.令?p(x),则2?dxdxdxdp2xdp?dx.两边积分,得 (1?x2)?2px?0,即2p1?xdxln|p|?ln(1?x2)?ln|C1|,即p?C1(1?x2)或
再积分得原方程的通解
dy?C1(1?x2). dx?x3??y?C1?x????C2. 3??3、 求微分方程初值问题
(1?x2)y???2xy?,y,x?0?1y?x?0?3的特解.
dp2x?dx. p1?x2解 题设方程属y???f(x,y?)型.设y??p,代入方程并分离变量后,有两端积分，得ln|p|?ln(1?x2)?C,即p?y??C1(1?x2)(C1??ec). 由条件y?x?0?3,得C1?3,所以y??3(1?x2).
两端再积分,得y?x3?3x?C2.又由条件yx?0?1,得C2?1, 于是所求的特解为 y?x3?3x?1. 4、求方程yy???y?2?0的通解. 解 设y??p(y),则y???p?dpdpdp,代入原方程得y?p?p2?0,即p??y?dy?dydy??p???0. ?由y?dpdy?p?0,可得p?C1y,所以?C1y, dydx原方程通解为 y?C2eC1x.
5、 求微分方程yy???2(y??y?)满足初始条件y(0)?1, y?(0)?2的特解. 解 令y??p,由y???pdp,代入方程并化简得 dyydp?2(p?1). dy2上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p?y??Cy2?1, 再分离变量,得
dy?dx,由初始条件y(0)?1,
Cy2?1dy?dx,再两边积分,得arctany?x?C1或y?tan(x?C1), 1?y2y?(0)?2定出C?1,从而得
由y(0)?1定出C1?arctan1?
?4,从而所求特解为y?tan(x??4).
第四节 ~ 第六节 二阶线性微分方程
1、二阶线性微分方程的一般形式是 ，其中 是自变量x的已知函数，当右端项 时, 方程成为 ，这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，右端项 时，原方程称为二阶非齐次线性微分方程.