2、求满足下列条件的平面方程：
(1) 过三点P1(0,1,2)，P2(1,2,1)和P3(3,0,4)； (2) 过x轴且与平面5x?2y?z?0的夹角为
π． 31,1,?1}，P1P3?{3,?1,2}，由题设知，所求平面的法向量为 解 用点法式．P1P2?{ijkn?P1P2?P1P3?11?1?i?5j?4k，
3?12又因为平面过点P1(0,1,2)，所以所求平面方程为
(x?0)?5(y?1)?4(z?2)?0，
即 x?5y?4z?13?0．
（2）因所求平面过x轴，故该平面的法向量n?{A,B,C}垂直于x轴，n在x轴上的投影
A?0，又平面过原点，所以可设它的方程为
By?Cz?0，
由题设可知B?0（因为B?0时，所求平面方程为Cz?0又C?0，即z?0．这样它与已知平面5x?2y?z?0所夹锐角的余弦为
0?5?0?2?1?102?02?12(5)2?22?12y?C?z?0，由题设得
?C1π1?C?，则有，令?cos?，所以B?0）
B32100?5?1?2?C??1?， cos?22222230?1?C?(5)?2?1解得 C??3或C???于是所求平面方程为y?3z?0或3y?z?0．
3、已知平面在x轴上的截距为2，且过点(0,?1,0)和(2,1,3)，求此平面方程． 解 设所求平面方程为
1， 3xyz???1， abc由题设知 a?2,b??1， 平面过点(2,1,3)，所以
213???1，得c?3．于是，所求平面方程为 2?1cxyz???1， 2?13即 3x?6y?2z?6?0． 4、求过原点且垂直于平面2y?z?2?0的直线. 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量
n={0，2，-1}平行，取直线方向向量s=n={0，
xy???z ． 022，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为
5、求过点M0(0,1,0)且垂直于平面3x?y?2?0的直线方程．
解 因所求直线的方向向量s与已知平面的法向量同向，所以可取s?{3,?1,0}，故所求方程为
6、求过点(2,1,1)，平行于直线平面方程．
解 用点法式．所给直线的方向向量s?{3,2,?1}，所给平面的法向量n1?{1,2,?3}．
xy?1z??． 3?10x?2y?1z?2??且垂直于平面x?2y?3z?5?0的32?1ijks?n1?32?1??4i?8j?4k，
12?3由题设知，所求平面的法向量n?s且n?n1，取n??平面方程为
1(s?n1)?i?2j?k，于是所求4(x?2)?2(y?1)?(z?1)?0，
即 x?2y?z?1?0
7、求与两平面 x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点(?3? 2? 5)的直线的方程? 解平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s? ijk 因为 s?(i?4k)?(2i?j?5k)?10?4 ??(4i?3j?k)?
2?1?5 所以所求直线的方程为
y?2z?5 x?3?? ?431y?3z?48、求直线x?2?与平面2x?y?z?6?0的交点? ?112解 所给直线的参数方程为
x?2?t? y?3?t? z?4?2t? 代入平面方程中? 得
2(2?t)?(3?t)?(4?2t)?6?0?
解上列方程? 得t??1? 将t??1代入直线的参数方程? 得所求交点的坐标为 x?1? y?2? z?2?
y?1z9、求过点(2? 1? 3)且与直线x?1??垂直相交的直线的方程?
32?1解 过点(2? 1? 3)与直线
x?1y?1z??垂直的平面为 32?1 3(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0? 即3x?2y?z?
y?1z2133直线x?1??与平面3x?2y?z?5的交点坐标为(, , ?)?
77732?1以点(2? 1? 3)为起点? 以点(2, 13, ?3)为终点的向量为
777 (2?2, 13?1, ?3?3)??6(2, ?1, 4)?
7777y?1z?3所求直线的方程为x?2?? ?2?14