但无论哪一种分解方法,都很难做到简单明了. 可是你若懂得杨辉三角是怎么回事,解题效果 就会大不一样.
杨辉三角是二项定理的具体模式,它 反映了?a?b?n展开式的系数规律.其基
本形式如右图所示:.例如n=5时,
?a?b??a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5
5a?b?a?b?b?b????【证明】 ??5555543223???a?b??5?a?b?b?10?a?b?b?10?a?b?b?5?a?b?b4?b5??b5 ????a?b??5?a?b?b?10?a?b?b?10?a?b?b3?5?a?b?b4
25432已知a?b能被5整除,故以上各项都能够为25整除. 这就证明了,
a5?b5必能被25整除.
评注:无论使用杨辉三角的哪一行,最终都归结到只需考察该行的最后一项. 虽然解题中使用了?杨辉三角?,但解题思路仍然逃不出余数定理的范围.例如我们考查6除以25的余数是几?,利用?杨辉三角?的解题思路是:
565??5?1??55?5?54?10?53?10?52?5?5?1
可见这个展开式除最后一项是1外,其余各项都含有因数25.
54325?5?5?10?5?10?5?5?5?25M则 记
565?25M?1
各位请看,这个式子是不是还是余数公式???的基本形式.
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由此确定:
65除以25的余数是1.
因为我们的目的是求余数,故无需去求M到底是几.但确信:M一定是整数. 4.中学数学知识的拓展,为我们处理大数创造了条件. 【例5】证明和数222555?333444是7的倍数.
【分析】解本题需要懂得两点预备知识. 一是二项定理,二是如下两个因式分解公式: 1.当n为奇数时,以n=5为例:
a5?b5??a?b??a4?a3b?a2b3?ab4?b4?2.当n为偶数时,以n=4为例:
?1?
a4?b4??a?b??a3?a2b?ab2?b3?【证明】∵222=7×31+5,
?222555??7?31?5?555?2?
?7M?5555
（根据二项展开式.这个展开式共有556项,其前面555项都含有因数7,故其和不妨记为7M,其中M是没有必要求出的整数）
444333??7?47?4?同理;
444?7N?4444
（其中N是无需求出且不同于M的整数）. 于是只需证明5555?4444是7的倍数.
根据n为奇数时类似于公式（1）的分解式,有
5555?4444?3125111?256111??3125?256??K?3381K
（其中K是无需求出且不同于M,N的整数） ∵3381=7×483是7的倍数,故5是7的倍数.
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555?4444是7的倍数,从而222555?3334445.利用中学数学探求整除的规律性
【例6】证明3个连续整数之积必定是6的倍数
【分析】将全部整数按照以3除之所得余数规律分类.则3个连续整数有且只有如下3种形式;（1）3k,3k+1,3k+2;（2）3k-1,3k,3k+1;（3）3k-2,3k-1,3k.
以下我们仅以第一种形式给于证明,余两种形式的证法类似,请读者自行完成. 【证明】不妨设此3连续整数为3k,3k+1,3k+2（k为整数）,那么:
3k??3k?1???3k?2??3k?9k2?9k?2?
这个乘积中含有因数3.以下只需证明?9k2?9k?2?含有因数2.
9k2?9k?2?9k?k?1??2对于整数k,只能是奇数或偶数.
?1?
若k为偶数,则（1）式已能为2整除;若k为奇数,则k+1为偶数. （1）式仍能为2整除.
29k?9k?2?必定含有因数2.这就证明了: 3个连续整数这就是说: 式子?之积必定是6的倍数.
评注:例6所揭示的规律还可继续推广.
例如:4个连续整数的积必定能为4×3×2×1=12整除; 5个连续整数的积必定能为5×4×3×2×1=120整除; ……
一般地说,n个连续整数之积必定能为n!?n?n?1??n?2????3?2?1整除. 这里n!表示前n个正整数之积,读作n的阶乘.
小结:本文列举出的所有问题,无论难易,最终都是通过带余除法的公式
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b?aq?r解决的.这正好反映这个公式是关于整除理论的最原始的知识,所以
是研究有关整除问题时必须紧紧抓住的题根.
在这个公式中,注意a,b,q都是非零整数,而整数r的取值范围必须是0≤r＜a,即r是小于除数的非负整数.
整除问题实质是该公式当r=0时的特殊情况.
中小学数学知识本来是连贯的.可是实际的数学教学却是割裂的.过去小学教师不去研究中学数学,所以难以高瞻远瞩地处理那些有发展前景的数学问题.一些中学教师由于对小学基础数学缺乏研究,也造成了数学教学的脱节.
所以我们主张,题根研究应该从小学开始.不仅孙子问题,还有代数与几何计数问题,面积与体积问题,方程问题等,都可以
一个题根,从小学讲到高中. （六）一组关于剩余定理的练习题 1.写出2016的所有约数
2.写出2016与188的公约数与公倍数
3.一个两位数除2016,余数是1818,求这样的两位数
4.证明:各位数字之和为9的倍数的整数,必定也能够被9整除. 5.由超级计算机运算得到的结果:2还是合数,请说明理由.
6.设a是一个满足下列条件的最大的正整数,使得用a除64所得余数是4, 用a除155所得余数是5, 用a除187所得余数是7,则a属于集合
859433?1是一个质数.问2859433?1是质数
A.?3,4,6?B?7,8,9?C.?10,15,20?D.?25,30,35?
7.一个屋子里有一群人，如果3个人一桌多2个，5个人一桌多4个，7个
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人一桌多6个，9个人一桌多8个，11个人一桌正好坐满。请问这屋里一共有多少人？
8（选做题）证明:20159（选做题）如果x?2016?20172016?2018能被2016整除.
y?7,证明x7?y7是49的倍数.
55551?2?3???1010（选做题）证明必定能被1?2?3???10整除.
参考答案 1.2016?25?32?7,构造如下多项式的乘法:
?1?7??1?3?32??1?2?22?23?24?25?
故知2016的所有约数共2×3×6=36(个) 请读者根据本展开式,自行写出2016的全部约数.
2.将2016与188分别分解质因数得:2016?7?32?25,188?47?22 所以这两个数的公约数是1,2与4,其中4是最大公约数;
这两个数的公倍数是2016×47=94752;2016×47×2=189504; 2016×47×3=284256;2016×47×4=379008.…,其中94752是它们的最小公倍数
3设此二位数为x,令2016=kx+1818（k为正整数）,则 x=198/k
∵198=2×3×3×11,且x为两位数,
∴取k=2,得x=99;取k=3,得x=66;取k=6,得x=33;取k=9,得x=22取k=18,得x=11.
故所求两位数为99，66，33，22或11. 4,.以四位整数为例给于证明.
设有四位数abcd,其中a,b,c,d均为个位整数.且满足a?b?c?d?9k20