（k为整数）
?abcd?1000a?100b?10c?d??999a?99b?9c???a?b?c?d?
?999a?9b9?c9?k9式中各项均含有因数9,故abcd,必定能够被9整除.
同理,满足题设条件的任何整数,都能够被9整除.
5.是合数.理由是,3个连续整数必定有一个是3的倍数.在
a?2859433?1,a?1?2859433,a?2?2859433?1中,已知a是质数,
有2的因子不可能为3整除,故a?2必定是3的倍数,故为合数.
a?1只含
?64?am?4?am?60?30?2??155?an?5??an?150?30?5,其最大公约数为a6.设??187?ap?7?ap?180?30?6??7.设这屋子共有x个人.
?30,故选D.
依题意,x+1同时是3,5,7,9的倍数,而3,5,7,9的最小公倍数为315. 故设x=315m-1 （1）
又知x为11的倍数,故令x=11n （2）
315m?17m?1?28m?综合（1）,（2）, 315m?1?11n?n?1111
m,n均为整数,故必m=8,19,30,…,8+11k. 代入（1）:x=2519+3465k （3）
当k=0时 ,x有最小值2519.即这个屋子里最少有2519人 8.证明:利用二项展开式; 20152016??2016?1?2016?2016M?1,其中M是无需求出的整数;
（展开式共2017项,符号法则是奇数项为正,偶数项为负,故第2017项必为1）
2017
2016??2016?1?2016?2016N?1,其中N是无需求出的整数.
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（展开式也是2017项,符号法则全正,故第2017项仍为1） 故20152016?20172016?2018
??2016M?1???2016N?1??2018?2016?M?N?1?,
所以20152016?20172016?2018必能为2016整除.
9.∵x+y=7,∴x=7-y.
将杨辉三角写到第7行是:1 7 21 35 35 21 7 1. 注意到?7?y?的展开式共8行,其符号法则为奇正偶负.故
7x7?y7??7?y??y7
7?77?7?76y?21?75y2?35?74y3?35?73y4?21?72y5?7?7y6
以上各项都含有因数49,这就证明了: 810∵1?2?3???10?55,
55551?2?3???10∴只需证明能被55整除.
x7?y7是49的倍数.
5555S?1?2?3???10,则 记
2S?2?15?25?35???105?
??15?105???25?95???35?85?????105?15??1?
（※）
55432234a?b?a?ba?ab?ab?ab?b????根据公式
（1）中各项都含有因数11,故2S能被11整除.
55555555又2S?0?10?1?9?2?8???10?0?????????2?
再根据公式（※）,（2）中各项均含有因数10, 故2S又能被10整除. 但是10与11互质,这说明2S必能为110整除.也就是S能被55整除.
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