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3.1.2PCA算法在人脸识别中的应用
设人脸图像I(x，y)为二维N*N灰度图像，用向量R表示。人脸图像训练集为
Ri(i?1,2M)，其中M为训练集中图像总数，这M幅图像的平均向量为：
1??M?R
ii?1M每个人脸Ri与平均人脸ψ的差值向量是：
?i?Ri??(i?1,训练图像的协方差矩阵可表示为：
C?AAT，其中A?[?1,?2M)
?M]
计算C的特征向量，并按照特征值的权重取前若干个特征向量组成特征空间U。 基于特征脸的人脸识别过程由训练阶段和识别阶段两个阶段组成。在训练阶段，每个已知人脸Ri映射到由特征脸构成的子空间上，得到m维向量
?k?UT(Rk??)(k?1,Nc)
其中N为已知人数，距离阈值为：
?c?1?j??k(j,k?1,max2j,k??Nc)
其中U为C的特征向量组成的矩阵。在识别阶段，首先把待识别的图像R映射到特征脸空间。得到向量：
??UT(R??)，?与每个人脸集的距离定义为：
?k2?R?Rk(k?1,2Nc)
为了区分人脸和非人脸，还需计算原始图像R与其由特征空间重建的图像Rf之间的距离ε：?2?R?Rf，
其中Rf?U???
2 采用最小距离法对人脸进行分类，分类规则如下：
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(1)若???c，则输入图像不是人脸图像； (2)若 (3)若
???c,?k,?k??c则输入图像包含未知人脸；
则输入图像为库中第k个人的人脸。
???c,?k,?k?min{?k}??c3.2 基于主成分分析法的人脸识别
将PCA方法用于人脸识别，其实是假设所有的人脸都处于一个低维线形空间，而且不同的人脸在这个空间中具有可分性。其具体做法是由高维图像空间经K-L变换后得到一组新的正交基，对这些正交基作一定的取舍，保留其中的一部分生成低维的人脸空间，也即人脸的特征子空间。完整的PCA人脸识别算法步骤包括: (1)人脸图像预处理。
(2)读入人脸库，训练形成特征子空间。
(3)把训练图像和测试图像投影到上一步骤中得到的子空间上。
(4)选择一定的距离函数进行识别。
3.2.1 读入人脸库
近几年来，人脸识别技术一直是图像研究领域的一个热门话题。许多专家和学者也纷纷提出了各种人脸识别的算法。然而，依据这些算法所建立起来的人脸特征模型大多都是基于有限图像库的经验模型。图像库的选择在很大程度上影响了模型的适用面和鲁棒性。下面是一些常用的人脸图像数据库。
（1）英国的ORL (Olivertti Research Laboratory)人脸数据库 ORL人脸数据库总共由400幅灰度图像组成，图像尺寸均为92*I12，图像背景均为黑色。这些图像来自40个不同年龄、不同性别和不同种族的人脸。每张人脸对应10副不同表情和细节的图像。如:笑和不笑，戴眼镜和不戴眼镜，睁眼睛或闭眼睛等。每副图像都是不一样的，包括了旋转幅度达20的深度旋转和平面旋转。人脸的尺寸也不一样，其变化范围最大达10%。该人脸库是在1992年到1994年间由英国剑桥大学Olivertti实验室的成员拍摄而成的，是目前使用最广泛的人脸图像库之一。 （2）美国的FERET(Face Recognition Technology)人脸数据库
FERET人脸库是由美国国防部建立的，目前最大容量的人脸图像库。该库包含了5000多幅从不同角度拍摄的人脸正面图像。每张人脸对应8张图片，其中正面的两张，侧面的六张。所有图像均为黑白图像，背景均为纯色。该图像库中的图像常被用于比较不同人脸识别技术的优劣。 （3）耶鲁人脸库
耶鲁人脸库由165副人脸图像组成，包括15个人的脸部图像，每个人对应11张不同的图像。这些图像的区别在于人物的脸部表情、不同的光照条件和脸部是否有局部被遮掩。
（4） MIT数据库
该数据库由960幅人脸图像组成，每幅图像的大小为128* 128，包括了62个人的
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脸部图像，每人对应15副不同姿态的表情。MIT数据库中的图像不包含光照变化的效果。
（5）欧洲M2VTS多模态数据库
该库包含了37个人的脸部序列图像。每一周对一个人的脸部按从右侧面到左侧面的角度拍摄，拍摄时每个人的嘴形是从一到九的数数，连续拍摄五周。该数据库是从工程项目中发展起来的，其中的图像识别难度较高，适用于算法复杂的访问控制实验测试。 （6） UMIST人脸库
UMIST人脸库包含了564副不同的图像，这些图像采自20个人的脸部图像。通过拍摄这20个人从右侧面到正面的脸部姿态而得。UMIST人脸库中的图像识别起来相对比较简单
（7）Purdue AR人脸库
Purdue AR人脸库包含了3276幅彩色的人脸正面图像。这些图像采自70个男性和56个女性的脸部表情。该图像库包含的范围比较全面，涵盖了不同的表情(如:微笑、愤怒和冷酷等)，不同的光照效果(如:左光源、右光源等)和脸部局部遮掩(如:戴眼睛)。每个两周进行一次脸部拍摄。该图像库适用于识别从视频中获取的图像，常用于做表情区分实验。
除上述人脸库外，还有CMU, PIE等常用的人脸图像库。不同的人脸图像库，其包含的图像在质量和内容方面都是不同的。本设计采用的人脸图像主要来自ORL人脸图像库。
这次设计中选用英国剑桥大学人脸库即ORL人脸库，此人脸数据库有40人，每人有10幅图像。这些图像具有以下特点:有些图像拍摄于不同的时期；人的脸部表情和脸部细节有着不同程度的变化，比如，笑或不笑，眼睛或睁或闭，戴或不戴眼镜；人脸姿态也有相当程度的变化，深度旋转和平面旋转可达20。人脸的尺度也有多达10%的变化；图像的分辨率是 112×92。在ORL人脸库中选出每个人的前5幅图像作为训练图像，构成一个200幅图像的训练集，剩下的200幅图像构成测试集。每幅图像按列相连构成10304维列向量，读入的训练样本集就构成10304×200的矩阵。
图3-1 ORL人脸样本
图3-2第一个人脸的十个样本
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读入每一个二维的人脸图像数据并转化为一维的向量。每人选择一定数量的图像构成训练集，其余构成侧试集。假设图像的大小是w?h(w和h分别为图像的宽度和高度)，整个人脸库中图像个数是n，用于训练的人脸图像个数是n1,测试的图像个数是n2，令
m?w?h，则训练集是一个m?n1的矩阵，测试集是m?n2的矩阵。第i幅人脸可以表
示为(m为一位向量维数):
iixi?x1i,x2,...xm??
T3.2.2 计算K-L变换的生成矩阵
读入每一个二维的人脸图像数据并转化为一维的向量。每人选择一定数量的图像构成训练集，其余构成侧试集。假设图像的大小是w?h(w和h分别为图像的宽度和高度)，整个人脸库中图像个数是n，用于训练的人脸图像个数是n1,测试的图像个数是n2，令
m?w?h，则训练集是一个m?n1的矩阵，测试集是m?n2的矩阵。第i幅人脸可以表
示为(m为一位向量维数):
iixi?x1i,x2,...xm??
T 计算K-L变换的生成矩阵?，进行K-L变换. K-L变换的生成矩阵可以是训练样本的总体散布矩阵
St，也可以是训练样本的类间散布矩阵
Sb等。散布矩阵由训练集生成。
总体散布矩阵可表示为(忽略系数):
St??xi?xxi?x?Rm?mi?1n1
????T
若取总体散布矩阵
St作为生成矩阵?，记
m?n1X?x?x,x?x,...,x?x?R12n1
??则?可写成:
??XXT?Rm?m
若将类内散布矩阵
cSb(忽略系数)作为K工变换的生成矩阵?，即：
TSb???m?x??m?x?iii?1
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这里c训练样本集中模式类别数，mi?i?1,...,c?是训练样本集中各类模式样本的均值矢量，且记:
X?m1?x,m2?x,...,mc?x?Rn1?c 则生成矩阵?为:
??XXT?Rn1?n1
??此时产生矩阵的秩r一般为c
以训练样本集的总体散布矩阵为生成矩阵St，即
St??(Xi??)(Xi??)T
i?1200其中Xi为第i幅训练样本的图像向量，?为训练样本集的均值向量，训练样本的总数为200。
图3-3 平均脸
3.2.3计算特征向量
计算特征值和特征向量的基本步骤是：(1)创建协方差矩阵；(2)计算协方差矩阵的特征值和特征向量；(3)按特征值由小到大顺序排列特征值和特征向量。
这些特征向量对应的图像很像人脸，所以被称为“特征脸”。有了这样一个由“特征脸”组成的降维子空间，任何一幅图像都可以向其投影并获得一组坐标系数，这组坐标系数表明了该图像在“特征脸”子空间的位置，从而可以作为人脸识别的依据。 虽然协方差矩阵E最多有对应于非零特征值的k（k?n1且k远小于m）个特征向量，但是通常情况下，k仍然很大，而事实上，根据应用的要求，并非所有的特征向量都有需要保留，而特征空间投影的计算速度是直接与创建子空间所用的特征向量的数目相关，若考虑到计算时间的因素，可以适当的减去一些信息量少的特征向量，而且，去掉这些特征向量之后不一定不利于分类结果，有的情况下反而能够提高识别性能。下面讨
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