同理AP′=AO﹣OP=4，
∴AP的最大值是8，最小值是4．
点评： 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 27．（12分）（2015?盐城）知识迁移
22
我们知道，函数y=a（x﹣m）+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=
+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反
比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）． 理解应用 函数y=
+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到，
其对称中心坐标为 （1，1） ． 灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=
的图象画出函数y=
﹣2的图象，并根
据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？ 实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=
；若在x=t（t≥4）时进行
第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=
，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次
复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
考点： 反比例函数综合题．
分析： 理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案： 灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
解答： 解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=
+1的图象可由函数y=的图象向右平
移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）． 故答案是：1，1，（1，1） 灵活应用：将y=
的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=
﹣
2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示： 由y=﹣1，得
﹣2=﹣1，
解得x=﹣2．
由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1 实际应用： 解：当x=t时，y1=则由y1=
，
=，解得：t=4，
即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， ∴点（4，1）在函数y2=则1=∴y2=当y2=
，解得：a=﹣4， ，
=，解得：x=12，
的图象上，
即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
点评： 本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值； （3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；
（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答； （3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT． 解答： 解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M． ∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得
，
解得
．
故直线AB的解析式为y=x+2；
（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=设Q（m，m），则C（m，m+2）． ∴QC=m+2﹣m=﹣（m﹣）+， QD=
QC=
[﹣（m﹣）+]．
；
2
2
2
2
QC．
故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为
（3）∵∠APT=45°，
∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．
①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°． ∵Q′（﹣2，4），F（0，4），
∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形． （i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1； （ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．
②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；
先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．
则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．
2
设Q″（n，n）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 22242
n+（4﹣n0=2，即n﹣7n+12=0．
22
解得n=3或n=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）． 可证△PFQ″为等边三角形，
所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″， 所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．
则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．
（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E． 则ET=AE=，OE=1， 所以OT=﹣1， 解得t=1﹣；
（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G． 设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=， ∴a+a=，
解得PT=a=﹣1， ∴OT=OP﹣PT=3﹣， ∴t=3﹣．
综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣
或t=3﹣．
点评： 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比较大．另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．