数理统计实验作业
一、 基本实验
1.区间估计
已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为：
1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948
（1）试问这批灯泡中大约95%的灯泡至少使用多少小时； （2）求这批灯泡能够使用1000小时以上的概率。 解：（1）输入数据，调用函数interval_estimate() 如下： X<-c(1067, 919, 1196, 785, 1126, 936, 918, 1156, 920, 948)
source(\interval_estimate(X, side=1) 运行结果为：
mean df a b 1 997.1 9 920.8443 Inf
所以，有95%的灯泡寿命在920.8443小时之上。即，该批灯泡中大约95%的灯泡至少使用920.8443小时。
（2）由题意可知，X由于??997.1,?2?X??N(?,?2) ，
?N(0,1)
1(x?997.1)2?124.7972 ?8所以，Z??(1000?997.1)/124.797?0.023238。 计算分布函数： pnorm(0.023238) [1] 0.5092698
Z?1000?997.1)??f(t)dt 由于pnorm(0.023238)?F(??124.797故大于1000小时的概率为，1- pnorm(0.023238)=0.49073=49.073% 可知，这批灯泡使用1000小时以上的概率是49.073%。 2.假设检验I
正常男子血小板计数均值为225*109/L,今测得20名男性油漆作业工人的血小板计数值（单位： 109/L）
220 188 162 230 145 160 238 188 247 113 126 245 164 231 256 183 190 158 224 175
问油漆工人的血小板计数与正常成年男子有无差异，并说明油漆作业对人体血小板计数是否有影响？
解：设原假设为H0:油漆工人的平均血小板为225*109/L，
对立假设H1: 油漆工人的平均血小板不为225*109/L 输入数据，调用函数t.test() 得到：
>X<-c(220, 188, 162, 230, 145, 160, 238, 188, 247, 113,
126, 245, 164, 231, 256, 183, 190, 158, 224, 175) >t.test(X, alternative=\R软件运行结果为 data: X
t = -3.4783, df = 19, p-value = 0.002516
alternative hypothesis: true mean is not equal to 225 95 percent confidence interval: 172.3827 211.9173 sample estimates: mean of x 192.15
由于p-value = 0.002516<<0.05,故拒绝原假设H0。且置信区间为[172.3827 ,211.9173], 区间上下限明显小于均值225.因此可以认为油气作业对人体血小板计数有显著影响。 3.假设检验II
为研究国产四类新药阿卡波糖胶囊效果，某医院用40名II型糖尿病病人进行同期随机对照试验。试验者将这些病人随机等分到试验组（阿卡波糖胶囊组）和对照组（拜糖平胶囊组），分别测得实验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值如表下：
试验组 -0.70 -5.60 2.00 2.80 0.70 3.50 4.00 5.80 7.10 -0.50 2.50 -1.60 1.70 3.00 0.40 4.50 4.60 2.50 6.00 -1.40 对照组 3.70 6.50 5.00 5.20 0.80 0.20 0.60 3.40 6.60 -1.10 6.00 3.80 2.00 1.60 2.00 2.20 1.20 3.10 1.70 -2.00
（1）假设数据服从正态分布，试用t检验（讨论方差相同和方差不同两种情况）和成对t检验来判断:国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜糖平胶囊对空腹血糖的降糖效果是否相同？并分析三种检验方法各自的优越性。
（2）检验试验组和对照组的数据的方差是否相同？
解：（1）设两组样本相互独立，分别服从正态分布：N(?1,?12),N(?2,?22)
假设?12??22：
根据题意，假设H0:?1??2,H1:?1??2，选择t检验，方差相同的情况： X<-c(-0.70, -5.60, 2.00, 2.80, 0.70, 3.50, 4.00, 5.80, 7.10, -0.50, 2.50, -1.60, 1.70, 3.00, 0.40, 4.50, 4.60, 2.50, 6.00, -1.40) Y<-c(3.70, 6.50, 5.00, 5.20, 0.80, 0.20, 0.60, 3.40, 6.60, -1.10, 6.00, 3.80, 2.00, 1.60, 2.00, 2.20, 1.20, 3.10, 1.70, -2.00) t.test(X,Y, var.equal = TRUE) 带入R软件，运行得到： Two Sample t-test
data: X and Y
t = -0.6419, df = 38, p-value = 0.5248
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.326179 1.206179 sample estimates: mean of x mean of y 2.065 2.625
由于p-value = 0.5248>0.05,故接受原假设，即认为国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜糖平胶囊对空腹血糖的降糖效果一致。
假设?12??22：
根据题意，假设H0:?1??2,H1:?1??2，选择t检验，方差相同的情况： X<-c(-0.70, -5.60, 2.00, 2.80, 0.70, 3.50, 4.00, 5.80, 7.10, -0.50, 2.50, -1.60, 1.70, 3.00, 0.40, 4.50, 4.60, 2.50, 6.00, -1.40) Y<-c(3.70, 6.50, 5.00, 5.20, 0.80, 0.20, 0.60, 3.40, 6.60, -1.10, 6.00, 3.80, 2.00, 1.60, 2.00, 2.20, 1.20, 3.10, 1.70, -2.00) t.test(X,Y)
带入R软件，运行得到： Welch Two Sample t-test
data: X and Y
t = -0.6419, df = 36.086, p-value = 0.525
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.32926 1.20926 sample estimates: mean of x mean of y 2.065 2.625
由于p-value = 0.525>0.05,故接受原假设，即认为国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜糖平胶囊对空腹血糖的降糖效果一致。
成对t检验：
根据题意，假设H0:?1??2,H1:?1??2，进行成对数据t检验： X<-c(-0.70, -5.60, 2.00, 2.80, 0.70, 3.50, 4.00, 5.80, 7.10, -0.50, 2.50, -1.60, 1.70, 3.00, 0.40, 4.50, 4.60, 2.50, 6.00, -1.40) Y<-c(3.70, 6.50, 5.00, 5.20, 0.80, 0.20, 0.60, 3.40, 6.60, -1.10, 6.00, 3.80, 2.00, 1.60, 2.00, 2.20, 1.20, 3.10, 1.70, -2.00) t.test(X,Y, paired=T) 带入R软件，运行得到： Paired t-test data: X and Y
t = -0.6464, df = 19, p-value = 0.5257
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.373146 1.253146 sample estimates: mean of the differences -0.56
p-value = 0.5257>0.05,故接受原假设，即认为国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜糖平胶囊对空腹血糖的降糖效果一致。
三种方法最后的判定结果是一致的，三种方法的置信区间为： 方差相同的置信区间： [-2.32926, 1.20926] 方差不同的置信区间：[-2.32926, 1.20926] 成对数据的置信区间：[-2.373146, 1.253146]
可见，方差相同与方差不同时的置信区间相同，成对数据的置信区间较大，效果不如其他两种方法，究其原因是两组数据的主体是独立的不是真正意义的成对数据。
（2）我们调用var.test()函数，来检验两个总体方差是否相同，命令如下： X<-c(-0.70, -5.60, 2.00, 2.80, 0.70, 3.50, 4.00, 5.80, 7.10, -0.50, 2.50, -1.60, 1.70, 3.00, 0.40, 4.50, 4.60, 2.50, 6.00, -1.40) Y<-c(3.70, 6.50, 5.00, 5.20, 0.80, 0.20, 0.60, 3.40, 6.60, -1.10, 6.00, 3.80, 2.00, 1.60, 2.00, 2.20, 1.20, 3.10, 1.70, -2.00) var.test(X,Y) 运行结果为：
F test to compare two variances data: X and Y
F = 1.5984, num df = 19, denom df = 19, p-value = 0.3153 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.6326505 4.0381795 sample estimates: