第一章 群的基本知识
二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群
定义 1.1 设G是一些元素的集合，G?{?,g,?}?{g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：
（1） 封闭性。即对任意f,g?G，若fg?h，必有h?G。 （2） 结合律。对任意f,g,h?G，都有?fg?h?f(gh).
（3） 有唯一的单位元素。有e?G，对任意f?G，都有ef?fe?f （4） 有逆元素。对任意f?G，有唯一的f则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f例1 空间反演群。
设E和I对三维实空间R中向量r的作用为
3?1?G，使f?1f?ff?1?e
?1称为f的逆元素。
?Er?r,Ir??r
即E是保持r不变的恒等变换，I是使r反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对r作用。集合?E,I?构成反演群，其乘法表见表1.1.
例2 n阶置换群Sn，又称n阶对称群。将n个元素的集合X?{1,2,?,n}映为自身的置换为
????????1P???m?12?n??, ?m2?mn?其中m1,m2,?,mn是1,2,?,n的任意排列，P表示把1映为m1，2映为m2，n映为mn的映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如
?1234??4231???42 13??32 14??=??。 ????定义两个置换P和P的乘积PP，为先实行置换P，再实行置换P，如
'''
?123??123??123???21 3????=??。 ?32 1??31 2???????容易看出在这乘法定义下，全部n阶置换构成Sn群。Sn群共有n!个元素。 例3 平面三角形对称群D3，又称为6阶二面体群。
考虑重心在原点，底边与x轴平行的xy平面上的正三角形?ABC，见图1.1（a）。保持正三角形不变的空间转动操作有
e:不转，d:绕z轴转2?3，f:绕z轴转4?3， a: 绕轴1转?，b: 绕轴2转?，c:绕轴3转?
定义两个转动操作的乘积，如ab为先实行操作b，再实行操作a。由图1.1?b?可看出，实行操作b和实行操作ab后?ABC位置的变化，且可看出，实行操作ab和实行操作d一样，因此ab?d。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成D3群。
D3?{e,d,f,a,b,c}是6阶群，它的乘法表见表1.2.
例4 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，n和?n互为逆元素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。除去0以外的实数构成一个群。
例5 空间平移群T?3?。设a是R中的向量，r是R中任意一向量，定义空间平移Ta为
33??Tar?r?a
定义两个平移Ta和Tb的乘积TaTb，为先实行平移Tb，再实行平移Ta，
???TaTbr?Ta(r?b)?r?b?a?Ta?br
故 TaTb?Ta?b?TbTa
T?3?群的单位元素是平移零向量T?，即不平移，其中?是零向量，Ta和?Ta是互逆元素。例6 三维转动群SO(3)。保持R中点O不动，设k是过O点的任一轴，绕k轴转?角的转动为Ck(?)。定义两个转动Ck(?)和Ck'(?)的乘积Ck(?)Ck'(?)，为先实行绕k轴转?角，再实行绕k轴转?角。则绕所有过O点轴的一切转动构成SO(3)群。SO(3)群的单位元素是转角??0，即不转。绕同一轴k，转角?和2???的元素Ck(?)，Ck'(?)互为逆元素。
????????3??''?'''
由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。
G称为无限群。当群G的元素个数有限时，G称为有限群。当G的元素个数为无限时，空间反演群、Sn群、D3群是有限群，例4至例6是无限群。
有限群G的元素的个数n称为群的阶，有时记为n?G?。反演群是二阶群，D3是6阶群，Sn是n!阶群。
群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续
两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。
群的乘法一般不具有可交换性。即对任意f,g?G，一般说来fg与gf并不相等。如果对任意f,g?G，有fg?gf，则称G是可交换群或阿贝尔(Abel)群。
从前面例子还可以看出，群G的任何元素可以用指标a标记。当G是n阶有限群时，指标a取1,2,?,n，群元用ga(a?1,2,?,n)表示。当G是可数的无限群时，如整数加法群，a可以取所有整数值，a?0,?1,?2,?。当G是连续的无限群时，如实数加法群，有时a取全体实数，有时a取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，a是三个无界的有序实数(ax,ay,az)，
?a?axi?ayj?azk
????又如在转动群中，a是3个有界的有序实数?,?,?，其中?,?是转轴k的方位角，?是转动角度，而且，0????,0???2?,0????,综上所述，群G是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数a标记为ga，给出此范围中任一个数a，就对应群G的一个元素。
定理1.1（重排定理） 设G?{ga},u?G，当a取遍所有可能值时，乘积uga给出并且仅仅一次给出G的所有元素。
?1证明 先证G中任意元素g?可以写成uga的形式。因为u?G，所以
u?1g??g??G，自然有g??ug?。
再证uga当?不同时，给出G中不同的元素。用反证法，设???，而ug??ug?'，两边左乘u?1'得g??g?'，这与?可以唯一标记G中元素矛盾。故???时，ug??ug?'。
'
于是当?改变时，uga给出并仅一次给出G的所有元素。定理证毕。
系gau在?取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G的所有元素。
重排定理是关于群的乘法的重要定理。它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或每一列）中被列入一次而且仅仅一次。乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，不可能有两行（或两列）元素是相同的。
1.2子群和陪集
H也构成一个群，定义1.2 设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，
则称H为G的子群。常记为H?G。
容易证明，群G的非空子集H是G的子群的充要条件为：
(1)若ha,h??H，则h?h??H，
?1(2)若h??H，则h??H。
任意一个群G，其单位元素e和G本身都是G的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。群G的非显然子群称为固有子群。若不特别说明，一般说是指固有子群。 例7 在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。 例8 在x轴方向的平移{Taxi}全体构成平移群T(3)的一个子群。 例9 绕固定轴k的转动Ck(?)，0???2?是SO(3)群的一个子群。
??定义1.3 n阶循环群是由元素a的幂ak组成，k?1,2,?,n，并且an?e，记为
zn?{a,a2,?,an?e}.
循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。从n阶有限群G的任一个元素a出发，总可以构成G的一个循环子群zk,
称a的阶为k，zk是由a生成的k阶循环群。因为当a?e,e为G的一阶循环子群，这是显
2然子群。当a?e,a?a,如a?e，则由a生成2阶循环子群。如
2a?e,a2?e,?,ak?1?e,，用重排定理，知a,a2,?,ak?1,ak为G中不同元素。通过增加
k，再利用重排定理，总可以在k?n中达到ak?e。因此，从阶有限群的任一元素a出发，
总可以生成一个G的循环子群。
定义1.4 设H是群G的子群，H?{h?}。由固定g?G，g?H，可生成子群H的左
陪集gH?gh?h??H, 同样也可生成H的右陪集
??
Hg??h?gh??H?,
有时也将陪集称为旁集。当H是有限子群时，陪集元素的个数等于H的阶。
定理1.2（陪集定理）设群H是群G的子群，则H的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。
证明 设u,v?G，u,v?H，考虑由u,v生成的H的两个左陪集，
uH?{uh?h??H},vH?{vh?h??H}
设左陪集uH和vH有一个公共元素，uh??vh?
?1则v?1u?h?h??H
根据重排定理，vuh?当?取遍所有可能值时，vuh?给出群H的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集v[vuh?]?uh?与左陪集vh?重合。因此当左陪集uH和vH有一个公共元素时，uH和vH就完全重合。定理证毕。 同样的证法，也适用于右陪集。
?1?1?1定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。
证明 设G是n阶有限群，H是G的m阶子群。取u1?G，u1?H,作左陪集u1H。如
果包括子群H的左陪集串H,u1H不能穷尽整个群G，则取u2?G,u2?H,u2?u1H，作左陪集u2H。根据陪集定理，u2H与H和u1H完全不重合。继续这种做法，由于G的阶有限，故总存在uj?1，使包括子群H的左陪集串
H,u1H,u2H,?,uj?1H
穷尽了整个G。即群G的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又没有相重合的元素，故群G的元素被分成j个左陪集，每个陪集有m个元素。于是 群G的阶n=（子群H的阶m）?j 定理证毕。
系 阶为素数的群没有非平庸子群。
上面把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，不仅对证明拉格朗日定理有用，而且提供了一种把群G分割为不相交子集的方法。这是一种很有用的分割群的方法。同样，也可以把群G分割成其子群的右陪集串。
例10 D3有子群H1?{e,a},H2?{e,b},H3?{e,c}和H4?{e,d,f}。D3可按H1分成
左陪集串，H1?{e,a},bH1?{b,f},cH1?{c,d}。也可按H4分成右陪集串，