H4?{e,d,f},H4a?{a,b,c}。
1.3类与不变子群
定义1.5 设f,h是群G的两个元素，若有元素g?G，使gfg轭。记为h~f。
共轨具有对称性，当h~f，则f~h。且f~f。
?1?1共轨还具有传递性，即当f1~h,f2~h,，则有f1~f2。因f1?g1hg1,f2?g2hg2,故 ?1?1?1?1f1?g1g2f2g2g1?1?(g1g2)f2(g1g2),
?1?h，则称元素h与f共
定义1.6 群G的所有相互共轨的元素集合组成G的一类。
由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被这类中任意一个元素所决定。只要给出类中任意一个元素f，就可求出f类的所有元素，
?1,g??G}。 f类{f'f'?g?fg??1一个群的单位元素e自成一类，因对任意g??G，有g?eg??e。阿贝尔群的每个元?1素自成一类，因对任意f,g??G，有g?fg??f。设元素f的阶为m，即fm?e，则
?1m?1f类所有元素的阶都是m，因(g?fg?)?g?fmg??e，对任意g??G成立。
?1应该指出，当g?取遍群G的所有元素时，g?fg?可能不止一次地给出f类中的元素。?1如f?e，g?fg?永远给出单位元素e。
由共轨关系具有传递性可以知道，两个不同的类没有公共元素。因此可以对群按共轨类进行分割。这种对群按共轨类进行的分割，每个类中元素个数不一定相同。而按子群的陪集对群进行的分割，每个陪集元素的个数是相同的。按类和按陪集分割群，是分割群的两种重要方式。
定理1.4 有限群每类元素的个数等于群阶的因子。
证明 设G是n阶有限群，g是G的任一个元素，看g类元素的个数。作G的子群Hg，
Hg?{h?Ghgh?1?g},
Hg由G中所有与g对易的元素h组成，即hg?gh。
对于g1,g2?G,g1,g2?H，，如果g1gg1?g2gg2，则g1,g2必属于H的同一左陪集g1H
gg?1?1g。因为按定义，g1?g1Hg。由g1gg1?g2gg2?1?1可得
(g1?1g2)g(g1?1g2)?1?g，故g1?1g2?Hg,g2?g1Hg。
反之，如果g1,g2属于Hg的同一左陪集g1Hg，必有g2?g1h,h?Hg。于是有
?1g2gg2?g1hgh?1g1?1?g1gg1?1
因此g类中元素的个数，等于群G按H分割陪集的个数，也就是群G的阶的因子。
gg类元素个数=
G的阶 gH的阶定义1.7 设H和K是群G的两个子群，若有g?G，使
K?gHg?1?{k?ghg?1h?H}
，则称H是K的共轭子群。
由共轭关系的对称性和传递性，知共轭子群也有对称性和传递性。即若H是K的共轭子群，则K也是H的共轭子群。若H1和H2是K的共轭子群，则H1和H2也互为共轭子群。G的全部子群可分割为共轭子群类。
定义1.8 设H是G的子群，若对任意g?G,h??H，有gh?g?1?H。即如果H包含
元素h?，则它将包含所有与h?同类的元素，我们称H是G的不变子群。
定理1.5 设H是G的不变子群，对任一固定元素f?G，在h?取遍H的所有群元时，
乘积fh?f?1一次并且仅仅一次给出H的所有元素。
?1证明 首先证明H的任意元素h?具有fh?f的形式。因为H是不变子群，故
f?1h?f?H，令f?1h?f?h?，则h??fh?f?1。
而且当h??h?时，fh?f素时，fh?f?1?1?fh?f?1，否则必引起矛盾。因此当h?取遍所有可能的H元
一次并且仅仅一次给出H的所有元素。
例11 以加法作为群的乘法时，整数加法群是实数加法群的不变子群。实事上，阿贝尔群
的所有子群都是不变子群。
不变子群的左陪集和右陪集是重合的。因为对G的不变子群H，由g?G,g?H，生成H的左陪集gH?{gh?h??H} 和右陪集Hg?{h?gh??H}
而由H是G的不变子群知g?1h?g?H。由下式可以看出左陪集的元素g(g?1h?g)也是右陪集的元素。
g(g?1h?g)?h?g?Hg
故H的左右陪集重合。因此对不变子群，就不再区分左陪集和右陪集，只说不变子群的陪集就够了。
设H是G的不变子群。考虑没有公共元素的H的陪集串，H,g1H,g2H,?,giH,?,，假定陪集串穷尽了群G，两个陪集giH和gjH中元素的乘积。必属于另一陪集。因
1gih?gjh??gigjg?jh?gjh??gigjh?h??gigjh??gkh??gkH
其中 h??gjh?gj,h??h?h?,gk?gigj
?1定义1.9 设群G不变子群H生成的陪集串为H,g1H,g2H,?,giH,?,，把其中每一个
陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素，定义新的元素间的乘法规则，即 陪集串 新元素
H?f0 g1H?f1 g2H?f2
giH?fi
乘法规则 gih?gjh??gkh??fifj?fk
这样得到的群{f0,f1,f2,?,fi,?}，称为不变子群H的商群，记为GH。不变子群H对应商群GH的单位元素f0，每一个陪集giH对应商群GH的一个元素fi。陪集giH和陪集gjH的乘积对应fi和fj的乘积。事实上，群{f0,f1,f2,?,fi,?}和群
{H,g1H,g2H,?,giH,?}同构，它们都可以作为商群GH的定义。
例12 D3群的元素可以分为三类，即c类?{e}，d类?{d,f}，a类?{a,b,c}。恒等转
动e自成一类，绕z轴转2?3和4?3是一类，绕角等分线转?角是一类。因此D3的子群是互为共轭的子群，H4?{e,d,f}是不变子群。H4H1?{e,a},H2?{e,b},H3?{e,c}，的陪集串和商群D3H4的元素间有以下对应
H4?{e,d,f}?f0,aH4?{a,b,c}?f1
故商群D3H4是二阶循环群Z2。
1.4群的同构与同态
定义1.10 若从群G到群F上，存在一个一一对应的满映射?，而且?保持群的基本运算规律（乘法）不变；即群G中两个元素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群G和群F同构，记为G?F。映射?称为同构映射。
同构映射可由图1.2表示： 其中?:G?F gi?fi gj?fj gigj?fifj
同构映射?，把G的单位元素g0映为F的单位元素f0，因对任意fi?G,?:gi?fi。 设?:g0?f0'，则有?:g0gi?gig0?gi?f0'fi?fif0'?fi
故f0'?f0,f0'必为F的单位元素f0。同构映射?，还把G的互逆元素gi,gi?1映为的互逆元素fj,fj。
由于同构映射?是一一满映射，故逆映射?恒存在，?把F映为G，而且?保持群的乘法规律不变，即
?1?1?1?1??1:F?G
fi?gi
fj?gj fifj?gigj
所以当群G和群F同构，必有群F与群G同构，F?G。
两个同构的群，不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。因此从数学角度看，两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，两个同构的群本质上没有任何区别。
例13 空间反演群{E,I}和二阶循环群Z2?{a,a2?e}同构。 例14 三阶对称群S3和正三角形对称群D3同构。
例15 群G的两个互为共轭的子群H和K是同构的。因为存在g?G，使h??H与
k??K有一一对应关系，h??gk?g?1,k??g?1h?g
以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。
定义1.11 设存在一个从群G到群F上的满映射?，?保持群的基本规律（乘法）不变；即G中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群G与群F同态，记为G~F。映射?称为从G到F上的同态映射。 图1.3表示从G到F上的同态映射?: 其中?:G?F
gi?fi
gj?fj gigj?fifj
也有定义从群G到群F中的同态映射?，这时?保持群的乘法规律不变，但并不是满映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群G到群F上的同态。
一般说，同态映射?并不是一一对应的。即对群F中的一个元素fi，G中可能不止一个元素gi,gi',?,与之对应。因此群G与群F同态，并不一定有群F与群G同态。 同构是一种特殊的同态，即当同态映射?是一一映射时，同态就是同构。因此若群G与群F同构，则G必与F同态。反之，若群G与群F同态，G与F不一定同构。
任何群G与只有单位元素的群Z1?{e}同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同态。
定义1.12 设群G与群F同态，G中与F的单位元素f0对应的元素集合H?{h?}，称
为同态核。
定理1.6（同态核定理）设群G与群F同态，则有 （1） 同态核H是G的不变子群；
（2） 商群GH与F同构。 同态核定理可以用图1.4表示。
证明 先证明同态核H是G的子群。
对任意h?,h??H，有?:h??f0,h??f0,h?h??f0
故h?h??H。因此同态核中二元素h?h??f0，的乘积仍在H中。而且由于同态映射把单位元素映为单位元素，故H含有G的单位元素g0，因设?:g0?f0，则对任意gi?G，
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