奈奎斯特采样频率 与压缩感知比较报告
学 生 张** 年 级 2010级 班 级 0210** 班 学 号 021012** 专 业 电子信息工程 学 院 电子工程学院
西安电子科技大学 2013年5月
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压缩感知与奈奎斯特采样频率比较报告
张**
摘要：经典的采样定理认为，不失真的恢复模拟信号，采样频率应该不小于奈奎斯特采样频率（模拟信号最高频率的两倍）。但是这种方法在使采集到的数据有很大的冗杂性。Dohono等人提出的压缩感知理论运用了大部分信号可以在预知的一组基上面稀疏表示的原理，利用随机投影实现了在低于奈奎斯特采样频率下实现了信号的采集。本文介绍了压缩感知的一些基本理论以及，并将其与香农采样定理进行了比较。最后讨论了压缩感知的一些信息获取算法以及压缩感知理论的应用前景。
关键词： 香农采样定理 奈奎斯特采样频率 压缩感知
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引言
当前大部分数据采集系统都是基于传统的香农采样定理来设计，按照这种方式采集的数据能够充分表示原始信号，但是它们存在较大的冗余。因此，这些方法往往导致采集数据的泛滥和传感器的浪费。研究如何根据信号的一些特征来实现低于奈奎斯特采样频率的采集，以减少所需采集的数据量具有重要的意义。起源于对具有有限新息率信号(即单位时间内具有有限自由度的信号)进行采集的研究，利用固定的结构性基函数以两倍于新息率而不是两倍于奈奎斯特采样频率对连续信号进行采集，Donoho等人提出的压缩感知方法则提供一种可以广泛应用于可压缩信号的采集方法。该方法所需要的传感器数目大大减少，采集到的数据也具有更小的冗余度。因此，该理论提出后立即吸引了众多科学家的关注，目前我国关于压缩感知方法的研究也已经开始起步，相信不久将有更多的人加入到关于压缩感知的研究行列。
压缩感知采集方法并不是对数据直接进行采集，而是通过一组特定波形去感知信号，即将信号投影到给定波形上面(衡量与给定波形的相关度)，感知到一组压缩数据。最后利用最优化的方法实现对压缩数据解密，估计出原始信号的重要信息。压缩感知关键的问题是如何给定用来感知信号的波形才能有效地恢复出原始信号的重要信息。涉及的关键因素在于给定的波形要与可以用来压缩原始信号的波形组均不相干，并且不相干程度越高，感知数据包含的信息量越大，为准确获取重建原始信号所需的感知数据量就越少。
第一章 奈奎斯特采样原理
奈奎斯特频率是离散信号系统采样频率的一半，因奈奎斯特－香农采样定理得名。采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。
从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。
需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。
第二章 压缩感知理论
本节对压缩感知做一个简单介绍。待采集信号f只在k个时刻非零(k即为稀疏程度)。为采集f中的信息，将其投影到了给定的一组感知波形?上(也可以说，用一组给定的波形
f进行感知)，得到了一组远小于信号原始长度的测度数y
y??f
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压缩感知方法的目的是通过远小于采集信号数据量的测度y恢复出原始信号f的全部信息。从式中求解f是一个欠定的问题，但从另一方面看，信号只有k个未知位置上的未知变量，即信号只有k?1个自由度，因此，在一定条件下当测度数只要超过信号自由度的时候就是可以通过一些非线性的方法进行恢复。显然，当任意选取感知矩阵?的k?1列均线性无关的时候(即感知矩阵能够区分任意两个不同的均为k稀疏的信号)，在满足y??f的所有情况中找到的具有最稀疏特性的信号即为所求，即求解如下的最优化问题：
?minf(P0)?
s.t.y??f?其中f代表f的零范数，即其中非零元素的个数。此外给定一些其它约束条件以后，信号也可以通过求解如下的最优化问题来实现：
?minf ??s.t.y??f其中0?p?1，fp???f?p1p然而对(P0)问题的求解只能通过对所有可能的稀疏
情况进行求解后才能找到最稀疏的形式，这是一个NP难问题.而对0?p?1时式所示最优化问题的求解也存在一定困难。幸运的是，用p?1时上式的解来估计可压缩信号，即接近最优，并且对它的求解能够等价为一个线性规划问题，从而便于利用现有方法进行求解。
当f具有可压缩性时，上述的方法同样可以估计出f中的具有较大幅值的项。在实际应用中，待采集的信号f (如一副图像)本身通常不是稀疏的，但是在某个基?上的变换系数是稀疏的，或者是可压缩的，即由
f???
确定的变换系数?是稀疏的，或者极少的系数包含了几乎全部的能量。结合上式可以得到感知数据与变换系数之间的关系为
y?f?????
若令a??? (测度矩阵)，则
y?A?
由于上面两式有相同的形式和假设，因而同样可以按照上述的最优化方法估计出式中的变换系数，进而经过变换估计出待采集信号。实际上f本身稀疏可以看成是，在单位阵上
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稀疏，此时的测度矩阵即为感知矩阵。
当感知矩阵与变换矩阵不相干时，矩阵A就能够很好地满足能够通过极小化变换系数的l1范数来估计原始信号的约束条件。并且随机矩阵即与任何一个固定的变换矩阵不相干的概率非常大。也即通过收集信号随机投影系数来采集未知信号是最优的，这样的一个数据采集方式在实际应用中显然是比较容易实现的。另外，信号的稀疏程度越高，利用上式恢复出原始信号所需的感知数据量也将越少。
第三章 奈奎斯特采样频率与压缩感知对比
下面将通过一个信号采集的实例来说明压缩感知方法的优越性。下图给出了一个周期为
T?0.01s的待采集信号f(t)。在实际工作中，需要将连续信号f(t)进行抽样以便于在计
算机上实现处理，该抽样过程可以看作是原始信号和脉冲串函数的乘积：
f(nT)?f(t)p(t)
其中，f(T)???(T?nT)，?(t)为脉冲函数。根据香农一奈奎斯特采样定理，如果该信号为连续信号且抽样频率两倍于信号的最高截止频率(奈奎斯特采样频率)，那么，可由采集信号f(nT)恢复出原始信号。根据信号的连续性和最高截止频率有界，可以得到信号的重建方法为：
f(t)??f(nT)sin(?(t?nT)/T)?(t?nT)/T
即利用sinc函数插值出未采集时刻的信息。当该信号为非带限信号或者采样频率低于奈奎斯特采样频率时重建出的信号较原始信号将存在一定的误差。如上图所示当我们对以采样速率为5KHz从上图（a）中获取的采样数据进行两倍的上采样时，按照重建方法获取到的估计信号与原始信号存在一定的误差。结果如上图（b）所示
与传统重建方法所依据的连续性和有限带宽相比，压缩感知重建方法利用的是信号在某个域上具有稀疏性和可压缩性，通过给定信号更好的表征域(换言之，利用一些其它的先验知识)，通过同样的数据可以得到更加好的重建效果。上图（c）结合该信号的变化是稀疏的(即只在部分时刻存在变化)这一先验知识，利用最优化方法重构的结果，该方法完全重构出
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