(l-5)
式中，A为Q?f?j,k??的最大值。实用中还常采用简单的形式Q?f??f。此时，对于8比特精度的图像，A=255，M、N为图像尺寸。
峰值均方误差PMSE也被表示成等效的峰值信噪PSNR:
PSNR??10log10?PMSE?
（1-6）
主观评价和客观评价这两种图像质量评价标准有各自的优缺点。由于人眼视觉特性的准确模型还没有完全建立起来，因此主观评价标准还只是一个定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。峰值信噪比能够对图像质量给出定量的描述。它是一种数学上统计的处理方法，其缺点是它并不是总能反映人眼的真实感觉。一种折衷的方法是在衡量图像“去噪”算法的优劣时，将主观与客观两种标准结合起来考虑。
第二章 图像去噪方法
2.1 传统去噪方法
对随时间变化的信号，通常采用两种最基本的描述形式，即时域和频域。时域描述信号强度随时间的变化，频域描述在一定时间范围内信号的频率分布。对应的图像的去噪处理[4]方法基本上可分为空间域法和变换域法两大类。前者即是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域法是在图像的变换域上进行处理，对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换达到图像去噪的目的。
2.1.1 空域滤波 1 均值滤波
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邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像f?x,y?为N?N的阵列，处理后的图像为g?x,y?，它的每个像素的灰度级由包含?x,y?领域的几个像素的灰度级的平均值所决定，即用下式得到处理后的图像:
g?x,y??1Mf?i,j? ???i,j?S(2-l)
式中x,y?0,1,2?,N?1；s是以?x,y?点为中心的邻域的集合，M是s内坐标总数。图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径愈大，则图像模糊程度也愈大。另外，图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模越厉害。
2 中值滤波
中值滤波是一种非线性滤波[5-7]，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被二维图像信号处理技术所应用。在一定的条件下，可以克服线性滤波器所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波的方法。
中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。
设有一个一维序列f1，f2，?，fn，取窗口长度为m(m为奇数)，对此序列进行中值滤波，就是从输入序列中相继抽出m个数，fi?v，?，fi?1，?，f1，?，
fi?1，?，fi?v，其中i为窗口的中心位置，v?m?1，再将这m个点按其数值大2小排列，取其序号为正中间的那作为出。用数学公式表示为:
Yi?Med?fi?v,?,fi,?,fi?v? i?Z,v?m?1 2(2-2)
例如：有一个序列为{0，3，4，0，7}，则中值滤波为重新排序后的序列{0，0，3，4，7}中间的值为3。此例若用平均滤波，窗口也是取5，那么平均滤波输
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出为?0?3?4?0?7??2.8。因此平均滤波的一般输出为:
5Zi??fi?v?fi?v?1???fi???fi?v?m i?Z
(2-3)
对于二位序列?Xij?进行中值滤波时，滤波窗口也是二维的，但这种二位窗口可以有各种不同的形状，如线状、方形、圆形、十字形、圆环形等。二维数据的中值滤波可以表示为：
Yi,j?Med{Xij},A为滤波窗口
A(2-4)
在实际使用窗口时，窗口的尺寸一般先用3?3再取5?5逐渐增大，直到其滤波效果满意为止。对于有缓变的较长轮廓线物体的图像，采用方形或圆形窗口为宜，对于包含尖顶角物体的图像，适宜用十字形窗口。使用二维中值滤波最值得注意的是保持图像中有效的细线状物体。与平均滤波器相比，中值滤波器从总体上来说，能够较好地保留原图像中的跃变部分。
2.1.2 频域低通滤波法
在分析图像信号的频率特性时，一幅图像的边缘，跳跃部分以及颗粒声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声使图像得到平滑由卷积定理可知:
G?u,v??H?u,v?F?u,v?
(2-5)
式中，F?u,v?是含噪声图像的傅里叶变换，G?u,v?是平滑后图像的傅里叶变换，
H?u,v?是低通滤波器传递函数。利用H?u,v?使F?u,v?的高频分量得到衰减，得
到G?u,v?后再经过反变换就得到所希望的图像g?x,y?了。低通滤波平滑图像的系统框图2-1所示。
????傅里叶变换?F???线性低通滤波器?G???傅里叶反变换?????u?uf?x,y?,v?,v?g?x,y? 图2-1 频域空间滤波框图
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下面介绍几种常用的低通滤波器。 1.理想低通滤波器(LIPF)
一个理想的低通滤波器的传递函数由下式表示:
?1,D?U,V??D0H?u,v???
??0,Du,v?D0?(2-6)
式中D0是一个规定的非负的量，称为理想低通滤波器的截止频率。D?u,v?代表从频率平面的原点到?u,v?点的距离，即:
D?u,v??u2?v2??12
(2-7)
理想低通滤波器平滑处理的概念是清楚的，但它在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这是由于H?u,v?在D0处由1突变到0，这种理想的H?u,v?对应的冲激响应h?u,v?在空域中表现为同心环的形式，并且此同心环半径与D0成反比。D0越小，同心环半径越大，模糊程度愈厉害。正是由于理想低通滤波器存在此“振铃”现象，使其平滑效果下降。
2.巴特沃思低通滤波器
巴特沃思低通滤波器(BLPF)又称作最大平坦滤波器。与ILPF不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性，因此它的空域响应没有“振铃”现象发生，模糊程度减少。一个n阶巴特沃思低通滤波器的传递函数为:
H?u,v??1 2n1??D?u,v?D0?（2-8） 或H?u,v??（2-9）
与理想低通相比，它保留有较多的高频分量，所以对噪声的平滑效果不如理想低通滤波器。一般情况下，常采用下降到H?u,v?最大值的11??1 2n2?1?D?u,v?D0??2那一点为低通
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滤波器的截止频率点。
3.指数低通滤波器(ELPF) ELPF的传递函数H?u,v?表示为:
n???D?u,v????H?u,v??exp?????
D0??????n??????1Du,v??（2-10）或H?u,v??exp?ln???
2?D0?????（2-11）
当D?u,v??D0、n?1时，以上两式的传递函数分别为H?u,v??1e和
H?u,v??12H，所以两者的衰减特性仍有不同。由于ELPF具有比较平滑的过
滤带，经此平滑后的图像没有振铃现象，而ELPF与BLPF相比，它具有更快的衰减特性，因此ELPF滤波后的图像比BLPF处理的图像稍微模糊上些。除了上述滤波方法外，学者们还提出了其它的基于频域滤波的图像去噪方法，如Wiener滤波[8]等。
综上所述，图像的经典去噪方法主要有两大类，一种是基于空间域的处理方法，一种是基于频域的处理方法。
基于空域的平均滤波法和非线性的中值滤波都是通过对图像像素的灰度值进行运算，达到平滑图像的效果。平均滤波是以点邻域像素灰度平均值来代替该点的灰度值，而中值滤波则以点邻域像素灰度值中值来代替该点的灰度值，因此，对于随机噪音的抑制能力，中值滤波器的性能要比均值滤波器的差些。但对于脉冲干扰来讲，特别是脉冲宽度小于滤波器的窗口宽度一半，中值滤波还是很有效的。不过，他们在平滑图像的同时亦会使图像轮廓变得模糊，它们的噪音平滑效果与窗口的宽度有关，窗口宽度越宽，噪音平滑效果越好，但图像就越模糊，这个矛盾难于解决，也是均值滤波和中值滤波的缺点。
基于频域的处理方法主要是用滤波器，把有用的信号和干扰信号分开，它在有用信号和干扰信号的频谱没有重叠的前提下，才能把有用信号和干扰信号完全区别开来。但在实际的情况中，有用信号和干扰信号的频谱往往是重叠的，因为无论是高斯白噪声还是脉冲干扰，它们的频谱几乎都是分布在整个频域。而图像
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