立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。从数学角度来看，傅立叶变换是通过一个基函数的整数膨胀而生成任意一个周期平方可积函数。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的信号可转化为频域中的信号，因此傅立叶变换反映的是整个信号在全部时间下的整体频域特征，但不能反映信号的局部特征。
傅立叶变换有如下不足：
（1）当我们将一个信号变换到频域的时候，其时间上的信息就失去了。当观察一个信号的傅立叶变换，我们不可能知道特定的事件何时发生；
（2）为了从模拟信号中提取频谱信息，需要取无限的时间量，使用过去的和将来的信号信息只是为了计算单个频率的频谱；
（3）因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，对于高频谱的信息，时间间隔要相对较小以给出比较好的精度。而对于低频谱的信息，时间间隔要相对较宽以给出完全的信息，亦即需要一个灵活可变的时间—频率窗，使在高“中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动变宽，傅立叶变换无法达到这种要求，它只能作全局分析，而且只对平稳信号的分析有用。
但是，在实际应用中，常常有些非平稳信号，如音乐、语音信号等它们的频域特性都随着时间的变化而改变，这时傅立叶变换明显表现出了其中的不足。为此，D.Gabor于1946年提出了著名的Gabor变换，之后又进一步发展为短时傅立叶变换(Short Time Fourier Trans
-form)，简记为STFT，又称窗口傅立叶变换。窗口傅立叶变换(STFT)克服了傅立叶变换不能同时进行时间频域的局部分析，在非平稳信号的分析中起到了很好的作用。其主要特点是：用一窗口函数g?t???对信号f?x?作乘积运算，实现在τ附近平稳和开窗，然后再进行傅立叶变换。其变换如下：
Gf?w,????f?t?g?t???e?j2?wtdt
???(3-1)
由于窗口傅立叶变换所定义的窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持不变，在实际应用中也存在其局限性。主要有两方面：一是因为高频信号一般持续时间短，而低频信号持续时间长，因此需对高频信号采用小时窗，对低频
24
信号采用大时窗。二是在进行数值计算时，为了便于计算，需对基函数进行离散化，但Gabor基无论怎样离散都不能组成一组正交基，因此会给计算带来不便。为了克服这些缺陷，使窗口具有自适应特性和平稳功能，1984年，法国地球物理学家J.Morlet在分析地震数据时提出将地震波通过一个确定函数的伸缩和平移来展开。之后，他与A.Grossman共同研究，发展了连续小波变换的几何体系，将任意一个信号可分解成对空间和尺度的贡献。1985年，YMeyer,A.G.rossman与Daubechies共同寻找了连续小波空间的一个离散子集，得到了一组离散的小波基(称为小波框架)。1986年，由Y.Meyer发现了构成希尔伯特空间的规范正交基，从而证明了小波正交系的存在。1987年，Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相应的分解和重构快速算法—Mallat算法，从而统一了以前所有具体正交小波基的构造。小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功地应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越受到人们的重视，其应用领域来越来越广泛，如：信号处理、图像处理、模式识别、语音识别等，并取得了可喜成果。
3.2 小波理论的基本概念 3.2.1 连续小波变换
设??t??L2?R?，其傅里叶变换为??w?，当??w?满足允许条件(完全重构条件)：
?????w???C???dw??
wR^2(3-2)
时，我们称??w?为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。其中，当w?0时，有??w?=0，即???t?dt?0???同时有?????0。因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传
25
递函数。事实上，任何均值为零(即???t?dt?0 )且在频率增加时以足够快的速
???度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。
将母函数??t?经过伸缩和平移后得到：
?a,b?t??(3-3)
1a???t?b??,其中a,b?R;a?0 ?a?称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。通常情况下，基本小波??t?以原点为中心，因此?a,b?t?是基本小波??t?以t?b为中心进行伸缩得到。基本小波??t?被伸缩为??ta?(a?1时变宽，而a?1时变窄)可构成一组基函数。在大尺度a上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a则搜索细节特征。
对于任意的函数f?t??L2?R?的连续小波变换为：
Wf?a,b??f,?a,b?a2?R?t?b?f?t????dt
?a?(3-4)
当此小波为正交小波时，其重构公式为：
f?t??1C?1?t?b???Wa,b???dadb ??????a2fa??????(3-5)
在小波变换过程中必须保持能量成比例，即
22da????Wa,bdb?Cfxdx f??2??aRRR(3-6)
由于基小波??t?生成的小波?a,b?t?在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以??t?还应该满足一般函数的约束条件：
???????t?dt??
(3-7)
26
故??w?是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(3-2)，??w?在
^????^^原点必须等于零，即 ??0?????t?dt?0 (3-8)
此即说明??t?具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求??t?的傅立叶变换满足如下稳定性条件：
A???2w?????^?j?2?B
(3-9)
式中，0?A?B??。连续小波变换具有以下重要性质：
（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 （2）平移不变性：若f?t?的小波变换为Wf?a,b?，则f?t???的小波变换为
Wf?a,b???。
（3）伸缩共变性：若f?t?的小波变化为Wf?a,b?，则f?ct?的小波变换为
1cWf(ca,cb)，c?0
（4）自相似性：对应于不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似性的。
（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：
①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f?t?的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。
②小波变换的核函数即小波函数?a,b?t?存在许多可能的选择(例如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。
小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的(Compact Support)，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应
27
具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。
连续小波变换式(3-4)是用内积来表示的，而数学上的内积表示f?t?与
?a,b?t?的相似程度，所以由式(3-4)，当尺度a增加时，表示以伸展了的?a,b?t?波形去观察整个f?t?；反之，当尺度a减小时，则以压缩的?a,b?t?波形去衡量f?t?局部。可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例(尺度)参数看全局而小的比例(尺度)参数看局部细节。因此，有人对小波变换特性作如下形象比喻：人们希望既看到森林，又看清树木。所以，先通过望远镜看清全貌，进而通过显微镜观察我们最感兴趣的细节。小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦镜头。
3.2.2 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此有必要讨论连续小波?a,b?t?）和连续小波变换Wf?a,b?的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数b的，而不是针对时间t的。这一点与我们以前的习惯不同。在公式(3-3)中，a ,b ∈R; a≠0是容许的。为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值。通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作a?a0j,b?b0j，这里j?Z，扩展步长a0?1是固定值，为方便起见，总是假定a0?1。所以对应的离散小波函数
?j,k?t?即可写作： ?j,k?t??(3-10)
而离散化小波变换系数则可表示为：
1?t?ka0jb0?????aj??a0?o?1a0?j??a0t?kb0?
Cj.k??f?t???j,k?t?dt?f,?j,k?0
????(3-11)
其重构公式为：
f?t??C??Cj,k?j,k?t?
??????28