第2章 模糊控制
3.1 模糊控制的基本思想
研究和考虑人的控制行为特点，对于无法构造数学模型的对象让计算机模拟人的思维方式，进行控制决策。
将人的控制行为，总结成一系列条件语句，运用微机的程序来实现这些控制规则。 在描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合来描述这些模糊条件语句，即组成了所谓的模糊控制器。 3.2 模糊集合的定义
模糊集合的定义：给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射μA
μA:U?[0,1]
都确定U的一个模糊集合A, μA称为模糊集合且的隶属函数。
μA(x)的取值范围为闭区间[0,1]，μA(x)接近1，表示x属于A的程度高；μA(x)接近0，表示x
属于A的程度低。
3.3 常用的3种模糊集合的表示方法， (1)Zadeh表示法
用论域中的元素xi与其隶属度μA(xi)按下式表示A，则
在Zadeh表示法中，隶属度为零的项可不写入。
(2)序偶表示法
用论域中的元素xi与其隶属度μA(xi)的构成序偶来表示且，则
在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。 (3)向量表示法
用论域中元素xi的隶属度μA(xi)构成向量来表示，则
在向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。
3.4凸模糊集的定义
若A是以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数为μA(x)，如果对任意实数a有
则称A为凸模糊集。
凸模糊集实质上就是其隶属函数具有单峰值特性。
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?x?b，都
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3．5 常见的4种隶属函数 (1)正态型
正态型是最主要也是最常见的一种分布，表示为
其分布曲线如图2-4所示。
图2-4 正态型分布曲线
(2)三角型
?1?b?a(x?a),a?x?b??1?(x)??(x?c),b?x?c?b?c?0,其它??
(3) 降半梯形
?1，x?a??b?x?(x)??,a?x?bb?a???0,b?x
（4）升半梯形
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第2章 模糊控制
?0，0?x?a??x?a?(x)??,a?x?b?b?a??1,b?x
3.6 己知两个模糊向量分别如下所示，试求它们的笛卡儿乘积
x=[0.9 0.5 0.2]，y=[0.2 0.3 0.6 1] 解：由定义，有
?0.9???Tx?y?x?y=0.5ο?0.2 0.3 0.6 1.0?
????0.2???0.9?0.2 0.9?0.3 0.9?0.6 0.9?1.0???= 0.5?0.2 0.5?0.3 0.5?0.6 0.5?1.0
????0.2?0.2 0.2?0.3 0.2?0.6 0.2?1.0???0.2 0.3 0.6 0.9???= 0.2 0.3 0.5 0.5
????0.2 0.2 0.2 0.2??3．7 模糊向量的内积与外积
设有1×n维模糊向量x和1×n维模糊向量y，则定义
为模糊向量x和y的内积。与内积的对偶运算称为外积。
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3.7 模糊逻辑推理
1．简单模糊条件语句
对于上面介绍的广义肯定式推理，结论B?是根据模糊集合A?和模糊蕴含关系A→B的合成推出来的，因此可得如下的模糊推理关系
B??A??(A?B)?A??R
式中，R为模糊蕴含关系，“?”是合成运算符。它们可采用以上所列举的任何一种运算方法。
例2-7 若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”，当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。
解：设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为
X=Y={1,2,3,4,5} A表示炉温低的模糊集合
B表示高电压的模糊集合
从而模糊规则可表述为：“如果x是A，则y是B”。设A?为非常A，则上述问题变为 “如果x是A?，则B?应是什么”。为了便于计算，将模糊集合A和B与成向量形式
A=[1 0.8 0.6 0.4 0.2]，B=[0.2 0.4 0.6 0.8 1]
由于该例中x和y的论域均是离散的，因而模糊蕴含关系Kc可用如下模糊矩阵来表示
当A? =“炉温非常低”= A2 = [1 0.64 0.36 0.16 0.04]时
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其中B?中的每项元素是根据模糊关系矩阵的合成规则求出的，如第1行第1列的元素为
这时，推论结果B?仍为“高电压”。
2．多重模糊条件语句
1)使用“and”连接的模糊条件语句 在模糊逻辑控制中，常常使用如下的 广义肯定式推理结构
模糊推理关系
B??A??(A?B)?A??R
与前面不同的是，这里的模糊条件的输入和前提部分是将模糊命题用“and”连接起来 的。一般情况下可以有多个“and”将多个模糊命题连接在一起。 模糊前提“x是A，则y是B”可以看成是直积空间X×Y上的模糊集合．并记为A×B，其隶属函数为
或者 时的模糊蕴含关系可记为A×B→C，其具体运算方法一般采用以下关系
结论z是C?，可根据如下的模糊推理关系得到
式中， R为模糊蕴含关系；“?”是合成运算符。它们可采用以上列举的任何一种运算方法。
2)使用“also”连接的模糊条件语句
在模糊逻辑控制中，也常常给出如下一系列的模糊控制规则
这些规则之间无先后次序之分。连接这些子规则的连接词用“also”表示。这就要求对于“also”的运算具有能够任意交换和任意结合的性质。而求并和求交运算均能满足这样的要求。根据Mizumoto的研究结果，当模糊蕴含运算采用Rc或Rp，“also”采用求并运算时，可得最好的控制结果。
假设第i条规则“如果x是Ai and y是Bi，则z是Ci”的模糊蕴含关系Ri定义为
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