56.袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球． （1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？
（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？
57.在班级活动中，某小组的4 名男生和2 名女生站成一排表演节目： （Ⅰ）两名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（Ⅱ）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （Ⅲ）4名男生相邻有多少种不同的排法？
（Ⅳ）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） 58.设（1-（1）求（1-（2）求（1-x）n=a0+a1x+a2x2+
+?+
，若|a0|，|a1|，|a2|成等差数列．
x）n展开式的中间项；
x）n展开式中所有含x奇次幂的系数和；
（3）求a1+2a2+3a3+?+nan的值．
59.某兴趣小组的3名指导老师和7名学生站成前后两排合影，3名指导老师站在前排，7名学生站在后排． （1）若甲，乙两名学生要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？ （2）若甲，乙两名学生不能相邻，共有多少种不同的排法？
（3）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排7人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？ （本题各小题都要求列出算式，并用数字作答）
60.已知（x+
）的展开式中前3项的系数成等差数列，设（x+
n
）=a0+a1x+a2x2+?+anx
nn
（1）求a0的值
（2）求最大的二项式系数 （3）求系数最大的项．
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【答案】
1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.C 11.C 12.B 13.C 14.D 15.B 16.C 17.C 18.C 19.B 20.B 21.120 22.8 23.24 24.10 25.252 26.6 27.21 28.70 29.480 30.360
nn
31.2+2?（-1） 32.22 33.27 34.12 35.1440 36.30 37.60 38.
39.12 40.210
41.解：（1）根据题意，（
3
r
-x）5中，其展开式Tr+1=C5（
）5-（-x），
rr
则其展开式中x的系数为T4=C5（在（
3
）（-1）=-
23
， -1）5=-，
-x）5中，令x=1可得其各项系数之和（
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、首位数字不能为0，则首位数字在2，3，4，5，6中选一个，则首位数字有5种情况， ②、在剩下的5个数字中，任选3个，安排在百位、十位、个位，有A53=5×4×3=60种情况， 则一共有5×60=300个满足条件的四位数．
2626
42.解：（1）先排歌曲节目有A2种排法，再排其他节目有A6种排法，所以共有A2A6=1440种排法．
62
（2）先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A6种排法，再从其中7个空（包括两端）中选2个排歌曲节目，有A7种插入方法，所以共有A66A72=30240种排法．
（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A44A53A22=2880种． 43.解：（1）：1到20共20个整数中，偶数有10个，奇数有10个．
若取出的这2个数都是偶数，方法共有C102=45种；若取出的这2个数都是奇数，方法共有C102=45种， 故所取的两数和为偶数的取法有45+45=90种， （2）：据题意，若每次取出2个数的和大于20，则两个数中至少有一个大于10， 可以分两种情况讨论，
①当取出的2个数都大于10时，则有C102=45 种． ②若取出的2个数有一个小于或等于10，
当一个数取1时，另1个只能取20，有C11种取法；
当一个数取2时，另1个只能取20或19，有C21种取法；
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?
当一个数取10时，另1个数只能取20，19，18，?，11中的一个，有C101=10种取法， 45+1+2+3+?+10=100．
24
44.解：（1）捆绑法：把甲乙看成一个整体，这样5个人变成了4个人，全排列共有A2A4=48 （种）站法，
3
（2）插空法：因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的3个人站队，有A3种；
232
第二步再将甲、乙排在3人形成的4个空档（含两端）中，有A4种，故共有站法为A3A4=72（种）．
544
（3）间接法：若对甲乙没有限制条件共有A5种法，甲在中间有A4种站法，乙在两端有2A4种，甲站中间乙站两端的有2A33种，
543
故甲不站中间，乙不站两端共有A5-3A4+2A3=120-72+12=60，
4113
直接法：第一类，乙在中间，有A4=24种，乙不在中间，有A2A3A3=36种，根据分类计数原理共有24+36=60种， （4）定序法：甲，乙均在丙的同侧，甲乙丙的顺序共3种，其中甲，乙均在丙的同侧占45.解：（1）项式系数最大的只有第5项Cn4 最大，n=8 ∴Tk+1=C8（
k
，故有A5=80种．
5
）8-（-
k
）=（-1）2-C8x=0，
kkkk
，
若存在常数项，则
即3k=16，又k∈N，这不可能， ∴没有常数项；
（2）：若Tk+1为有理项，当且仅当因为0≤k≤8，k∈N，所以k=0，4，8， 即展开式中的有理项有3项，它们是46.解：令a=1得
由二项展开式的通项公式得 令10-5r=0，解得r=2，?（4分） 所以即
n
n
为整数，
．
的展开式的各项系数之和为2，?（2分）
，
的展开式中的常数项是第3项，
，
由2=27得n=7；?（8分） 对于所以
，由二项展开式的通项公式得
的项是第4项，其二项式系数是
n
，
．?（12分）
47.解：（1）令x=1，M=4
n
二项系数之和为2
nn
所以4-2=240 得n=4，
rr
（2）Tr+1=34-C4x，0≤r≤4，所以r=0，2，4， 当r=0时，T1=34C40x4=81x4， 当r=2时，T2=32C42x3=54x3， 当r=4时，T1=30C44x2=x2． 48.解：∵∴
，∴m=1．
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，
（1）令x=1时，令x=0时，∴a1+a2+?+a7=1． （2）令x=-1时，①-②得
． ．
，①
．②
49.解：（1）（捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有换位置，有A22种排法，故共有
（2）方法一（间接法）7人任意排列，有有
（种）．
（种）排法．
种排法，甲、乙两人相邻的排法有
种排法，甲、乙两人可交
种，故甲、乙不相邻的排法
方法二（插空法）将其余5人全排列，有种排法，故共有
种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有
（种）排法．
种排法，将甲、乙、丙插入5个空中，有
种排法．故共有
（种）
（3）（插空法）将其余4人排好，有排法．
（4）（间接法）7人任意排列有
2
种排法，甲乙丙都相邻的排法有
4
种，故有种排法
可得n=10，则
50.解：第三项的系数为Cn，第五项的系数为Cn，由第三项与第五项的系数之比为
=
，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45；
51.解：（Ⅰ）甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校的教师中各任选1名的所有可能的结果为：{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，共9种．
从中选出两名教师性别相同的结果有：{A，D}，{B，D}，{C，E}，{C，F}，共4种，所以选出的两名教师性别相同的概率为
．
（Ⅱ）从甲校和乙校的教师中任先2名的所有可能的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共6种．所以，选出两名教师来自同一学校的概率为
．
3
6
52.解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A3A6=4320种； （2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种； （3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；
（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种， （5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种 53.解：（ I）写出展开式的特征项， 第k+1项为
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令，解得k=4，
∴展开式中含x4项的系数为（-2）4C104=3360
r+13r-1
（II）∵第3r项的二项式系数为C10，第r+2项的二项式系数C10
r+13r-1
∴C10=C10故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10 ∴r=1
54.解：（1）∵（x+（2）∴m
4
）展开式的二项式系数之和为256，∴2=256，解得n=8．
r
=m
nn
的通项公式：Tr+1=
=
，解得m=
．
x8-2r，令8-2r=0，解得r=4．
（3）的通项公式：Tr+1=
r=mx8-2r，
∵展开式中系数最大项只有第6项和第7项，∴m≠0， T6=m5
x-2，T7=m6
x-4，令m5
=m6
，
解得m=2．
224
55.解：（1）男、女同学各2名的选法有C4×C5=6×10=60种，故总的不同选法有60×A4=1440种； 即男女同学各两名的选法共有1440种．
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，故选人种数为132231
C4×C5+C4×C5+C4×C5=40+60+20=120
4
故总的安排方法有120×A4=2880 故不同的选法有2880种．
（3）可计算男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一
2112
女，两女，故总的选法有C3+C4×C3+C4=21
4
故总的选法有2880-21×A4=2376 故不同的选法种数是2376种 56.解：（1）根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有C104=210种取法， 其中颜色相同的情况有2种：4个红球或4个白球， 若4个红球，有C44=1种取法，
4
若4个白球，有C6=15种取法，
则取出球必须是两种颜色的取法有210-（1+15）=194种； （2）若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论： ①、4个全部是红球，有C44=1种取法，
31
②、有3个红球，1个白球，有C4C6=24种取法，
22
③、有2个红球，2个白球，有C4C6=90种取法， 则一共有1+24+90=115种取法． 57.解：（I）由题意知两名女生不能相邻，可以先排列男生，有A44=24种结果， 再在男生写出的5个空中排列两名女生，有A52=20种结果， 根据分步计数原理知共有24×20=480种结果 即两名女生不能相邻的排列方法有480种结果，
（II）由题意知可以分成两种情况甲站在右端有A55=120种结果，
甲不在右端，甲有4种情况，乙也有4种结果，余下的4个人在四个位置全排列，共有4×4×A44=384种结果， ∴根据分步计数原理知共有120+384=504种结果
（III）4名同学相邻可以把四名男生作为一个元素，和2名女生共有三个元素排列，有A33=6种结果， 其中四名男生内部还有一个排列，共有6A44=144种结果． （Ⅳ）首先把6名同学全排列，共有A66=720种结果， 甲乙丙三人内部的排列共有A33=6种结果，
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