运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动
一、等效法
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关
概念之间关系。具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
二、题型归类
（1）单摆类问题（振动的对称性）
例1、如图2-1所示`，一条长为L的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为?。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细
线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
O E O E O E α B 图2-1
α qE T B 图2-2 mg?αβ B 图2-3
mg
运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，
对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。 等效分析：对小球在B点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：mg??单摆运动。
规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B点为振动的平衡位置，竖直位置对
应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，
当悬线与竖直线的夹角满足??2?，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。
针对训练：
1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝
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mgcos?，小球就做只受“重力”mg′与绳拉力运动，可等效为
缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是 A．小球所受电场力的大小为mgtanθ B．小球到B点的速度最大
C．小球可能能够到达A点，且到A点时的速度不为零 D．小球运动到A点时所受绳的拉力最大
O θ θ E C A B
答案：AB 2、用长为l的细线悬挂一质量为m，带电荷量为+Q的小球，将其置于水平方向向右且大小为E的匀强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且OA?l的位置A处，然后释放小球。已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。
解析：小球释放后受恒力mg、QE和变力FT的作用，在位置A、B之间做往复振动，电势能和重
力势能、动能发生相互转化，则在点A、B之间必存在一个平衡位置（切向加速度为零），由
运动的对称性可知，这个位置必然在点A、B中间，设为点C，与竖直方向的夹角为θ，则
tan??QE/mg，等效重力加速度
g'?g?(QE/m)22?g/cos?。
设点C为等效重力势能的零势能面，则 mg l(1?cos?)?12mvC，FT?mg ?mvC/l，
22FT?mg'?2mg'(1?cos?) ?3mg'?2mg'cos??3(mg)?(QE)22
?2mg3、如图2所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。
图2
（1）若使细线的偏角由α增大到?，然后将小球由静止释放。则?应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
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（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？
解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，
并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：
(mg)?(Eq)gcos?22?mgcos?，令
mgcos??mg'
这里的g'?可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。这样一个
“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。
图3
（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A点由静止开始摆至B点的速度为零。根据重力场中
单摆摆动的特点，可知??2?。
（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为T?2?B的时间为单摆做简谐运动的半周期。
T2Lcos?gLg'?2?Lcos?g，从A→
即t???。
4、在水平方向的匀强电场中，用长为3L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小。
A处时对球受力分析如右图: 且F=mgtg300=
33B O 300 C VCX VCY D T F
A mg,
mg
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“等效”场力G’=(mg)2?F2=
23mg 与T反向
3“等效”场加速度g’=
23g
3从B到C小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,
S=3L V C=2g's=2
gL 所以V0
CX=VC sin60=3gL
VCY在绳子拉力作用下，瞬时减小为零
从C到D运用动能定理: W2G+WF=
12m V D--
12m V2CX
V D=(23?1)gL
5、如图12，带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点O，摆长为L，摆球质量为m，两板间距为d，两板间加电压为U。今向正极板方向将摆球拉到水平位置B然后无初速释放，小球在B、A间来回振动，OA为竖直线。
求：（1）小球所带电量为多少？
B O （2）小球最大速率为多少？ （3）若要使小球能做完整的圆周运动，在B点至少 需使小球具有多大的竖直向下的初速度？
+
A
解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为AB弧的中点
且电场力qE水平向左、重力mg竖直向下，合力的方向由O指向AB弧中点，即O点左向下45° 则 qE=mg ，E=U/d 得 q=mgd/U
⑵从上一问分析可知小球将在AB弧中点达到最大速度Vm，电场力与重力的合力为2mg ，由B静止运动到AB弧中点的过程，根据动能定理得
12mV2m=2mgL(1?22)则Vm==(22?2)gL ⑶小球圆周运动的等效最高点为O点右向上45°距离为L处 在此处应具有的最小速度为2gL，设在B点时具有竖直向下的速度为VB，由动能定理得
1m2gL?122mV2L?2B=?2mg(2L)
解得VB?(32?2)gL
6、（12西城二模）如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m，电荷量为+q的小球。
整个装置处于水平向右，场强大小为
3mg的匀强电场中。
4q（1）求小球在电场中受到的电场力大小F；
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-
（2）当小球处于图中A位置时，保持静止状态。若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小a； （3）现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B无初速
度释放。不计小球受到的空气阻力。求小球通过最低点时的速度大小v。
解析：
（1）小球所受的电场力 F?Eq? ················· 2分
4F?Eq?3454mg··················2分3EA B O
mg（2）根据平行四边形定则,小球受到的重力和电场力的的合力
F合?（mg)2?(Eq)2?· ················2分
·················2分 ············ ··2分
122 根据牛顿第二定律 F合?ma所以，小球的加速度 a?
（3）根据动能定理有 ：
54g mgl?Eql?2gl2mv?0·············4分
解 得： v? ·················2分
（2）类平抛运动
例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m的微粒由板中间以某一初速平行于板
的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？
解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt2，带电后，应根据极板电性不同分两种情况讨论
（1）若上极板带正电，下极板带负电（如图a） 微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t，竖直方向受 重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md) t ，要使 微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q. （2）若上极板带负电，下极板带正电（如图b） 分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 s=1/2(qU/md-g) t2，要使微粒不再射出电场，则s>d/2, 解得U>3mgd/q.由于微粒不带电时能射出电场，故当重 力大于电场力时，微粒一定能射出，满足条件。
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2
+ G F F G + (b)
_ (a) _