（3）竖直平面内的圆周运动
例1、如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为
R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。现
有一质量为m的带正电，电量为q?速度应为多大？
0R 30 图3-1
B E O R 30 图3-2 03mg3E小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初
E N mg qE mg?
R O 30 0图3-3 mg?
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、
电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过
山车。 等效分析：如图3-2所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力mg?，
23mg3qEmg33大小mg??(qE)?(mg)?22，tg???，得??30?，于是重效重力
方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供
向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重R假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根
1122据动能定理：?mg?2R?mvB?mv0
22力”当好提供向心力即：mg??mvB2
解得：v0?103gR3
针对训练：
1、水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V0至少应为多大？ 解析：
静止时对球受力分析如右图 且F=mgtg37=
0
B O 34mg,
22 “等效”场力G’=(mg)?F“等效”场加速度g’=
54=
54mg与T反向
370 A g
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与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处, 且最小的V B=g'R
从B到A运用动能定理: G’2R=
545212m V0 2--
2
1mg2R=
12m V0 --
25 12m V B2 gR
m
4 V0 =
gR
2. 如下图所示，在竖直平面内有水平方向的匀强电场，场强E=104N·C?1，有一质量m?0.04kg，带电荷量Q?3×10?5C的小球，用一长度l?0.4m的细线拴住且悬于电场中的O点，当小球处于平衡位置静止时，问：在平衡位置以多大的初速度释放小球，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动？（g?10m·s?2）
解析：小球在复合场中处于平衡时，受到恒力QE、mg和变力FT的作用，设平衡位置在A处，此时悬线与竖直方向的夹角为θ，等效重力加速度 g'?g?(QE/m)22?12.5m·s?2。
小球运动的最高点为AO连线的反向延长线与圆弧的交点B。因为只有重力和电场力做功，故能
量守恒。取A处为等效“重力零势能面”，则EKA?EKB?EPB，即
12mvA?212mvB?mg'(2l)。
2 若要维持带电粒子做圆周运动，粒子到达最高点的临界条件为 mg'?mvB/l，vB? 则 v0?12mv0?22lg'。
12mg'l?2mg'l，
?15g'l?5m·s。
3、半径R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A点，圆心O与A点的连线与竖直方向的夹角为?，如图11所示.在A点时小球对轨道的压力
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. B
图11
FN=120N，若小球的最大动能比最小动能多32J，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：
（1）小球最小动能等于多少？
(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 0.04s时间后，其动能与在A点时的动能相等，小球的质量是多少？
解析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F（F即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B处（该点必在A点的对称位置），此时，由牛顿第二定v律和圆周运动向心力公式可得：FN?F?mA，从A到B，由动能定理得：
R?F?2R?E?Ek，可解得：EkA?40J，EkB?8J，F?20N kBA2（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA方向上匀加速、垂直于OA方向上匀速直线运动的合
运动），根据机械能守恒，0.04s后，将运动到过A点且垂直于OA的直线上.运动过程的加速度为：a?Fm，根据平抛运动规律可得：2R?12at，可解得：m?2Ft24R?0.01kg。
4、（07宣武）（本题9分）如图14所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中
⌒
的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且AB?R?0.2m.把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静
2
止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s）求： （1）它到达C点时的速度是多大？ （2）它到达C点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？
答案：（9分）概述：对于本题，无论应用功能关系、动能定理或广义机械能守恒
定律观点，只要叙述准确以及对应的方程符合规范，都要给相应的分。以下
仅用动能定律的观点求解，供参考。）
解：（1）、（2）设：小球在C点的速度大小是Vc，对轨道的压力大小为NC，则对于小球由A→C的过程中，应用动能定律列出：
qE.2R?mgR?12mVC?0???????①
2在C点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：NC?qE?mVCR2??②
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解得：VC?4qERm?2gR?2m/s???③
NC?5qE?2mg?3N??????????④
（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B、C点的连线BC
的中点D如图：????????⑤ ∴合场势能最低的点在⌒BC
∴小球的最大能动EKM：
EKM?Epmin?EpD?qER(1?sin45?)?mg.R(1?cos45?)?25J????⑥
A
例2：“最低点”类问题
如图1-1所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时粒子的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与ac间的夹角θ。 （2）若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在c点，那么初动能为多大？
c
图1-1 a 30° e a mg 图1-3
b d
E c 30° b 图1-2
运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动
对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-2所示，在竖直平面内，从圆周的d点以相同
的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，
可知到达圆周最低点e时小球的动能最大，且“最低点”e的特点：重力方向上过圆心的直径上的点。
等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中也是对应
的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c点。 规律应用：电场力方向即为如图1-3所示过圆心作一条过c点的直径方向，由于粒子带正电，
电场方向应为斜向上，可得θ=30°。
解析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的事实：如图
1所示，在竖直平面内，从圆周的a点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d时小球的动能最大，最低点是过圆心
的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过c点的直径，这就是电场的方向，如图2所示，所以θ=30°。
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图1 图2 （2）小球做类似平抛运动，由平抛运动知识可知 x?v0t，y?12at2?EQt2m2，
而 x?Rcos?，y?x/tan?，
解得 Ek?针对训练：
1、（09海淀反馈）如图15所示，BD是竖直平面上圆的一条竖直直径，AC是该圆的任意一条直径，已知AC和BD不重合，且该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向在圆周平面内。将一带负电的粒子Q从O点以相同的动能射出，射出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达A点时粒子的动量总是最小。如果不考虑重力作用的影响，则关于电场强度的下列说法中正确的是 （ ）
A．一定由C点指向A点 B．一定由A点指向C点 C．可能由B点指向D点? D．可能由D点指向B点 答案：A
2、(09海淀)如图9所示，BD是竖直平面内圆上的一条竖直直径，AC是该圆的 另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周平面。将带等量 负电荷的相同小球从O点以相同的动能射出，射出方向不同时，小球会经过圆 周上不同的点，在这些所有的点中，到达A点时小球的动量总是最小。忽略空 气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．可以断定电场方向由O点指向圆弧AEB上的某一点
B．到达B点时小球的动能和电势能之和总是最小
C．到达C点时小球的电势能和重力势能之和总是最小? D．对到达圆上的所有小球中，机械能最小的小球应落在圆弧CFD上的某一点 答案：BC （4）、斜面类问题
如图4-1所示，一根对称的“Λ”型玻璃管ABC置于竖直平面内，管与水平面夹角为θ＝30, 一侧管长为L=2m，管对称线OO′的左侧的空间存在竖直向上的匀强电场E1，管对称线OO′的右侧的空间存在与竖直方向成??30，大小为E2的匀强电场。质量为m，带正电电量为q的小球在管内从A点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系数为μ，如果小球在B端与管作用没有机械能量损失，已知??0.5，qE1?3mg，qE2?零的位置在何处？
E1 L A θ O O′ B ? 第 10 页 共 14 页 00
12mv0?218REQ。
A E B
O D F 图9
C 3mg，求小球从A点开始至第一次速度为
O′ E2 E1 qE2 qE1 mg1 L θ mg B mg2 ? E2 C A mg O C