所以Sk??3?20?1???3?21?1???3?22?1?????3?2k?1?1?
1?2k?31?2?k?3?2k??k?3?.
17．答案：
解（I）：最多能过5关.
解（II）：记过第1、2、3关分别为事件A、B、C. 第1关抛掷骰子一次，仅点数为1才不能过关，故P(A)?56. 第2关抛掷骰子两次，点数和大于4才能过关，故按点数来看，不能过关的情形 有: (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)，共计6种情形， 所以P?A??6?6?66?6?56.
第3关抛掷骰子三次，点数和大于9才能过关，故按点数来看，不能过关的情形有:
(1,1,m)(m??1,2,3,4,5,6?) (1,2,m)(m??1,2,3,4,5,6?) (1,3,m)(m??1,2,3,4,5?) (1,4,m)(m??1,2,3,4?) (1,5,m)(m??1,2,3?) (1,6,m)(m??1,2?) (2,1,m)(m??1,2,3,4,5,6?) (2,2,m)(m??1,2,3,4,5?) (2,3,m)(m??1,2,3,4?) (2,4,m)(m??1,2,3?) (2,5,m)(m??1,2?) (2,6,m)(m??1?),...
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共计有
(6?6?5?4?3?2)?(6?5?4?3?2?1)?(5?4?3?2?1)?(4?3?2?1)?(3?2?1)?(2?1)?81种情形，所以P?C??
18．答案：
6?6?6?815?.
6?6?68解（I）：由题设c?a?b，可得c?a,c?b，故C为最大角； 只需要判断a?b?c?0， 因为即
222333?a22?b2c?c3?a2?b2c?a3?b3?a2?c?a??b2?c?b??0，
??????a?b2c?c3?0，a2?b2?c2，
?a2?b2?c2?0， 根据余弦定理，有cosC?2ab故，?ABC是锐角三角形. 解（II）：
n?2因为c?a?b，所以c?an?2,cn?2?bn?2，
nnn因为a?bc所以a?bc??22?n?2?cn?a2?b2cn?2?an?bn?a2cn?2?an?2?b2cn?2?bn?2?0，
222?cn?0，即a2?b2cn?2?cn，所以a?b?c，
????????22?n?2??a2?b2?c2?0， 根据余弦定理，有cosC?2ab故，当n?3?n?N?时，△ABC是锐角三角形.
19．答案： 解法一：
证明（I）：取BC中点O，连结AO．
?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
?AO⊥平面BCC1B1．
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7
连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，
?B1O⊥BD. ?AB1⊥BD．
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
?AB1⊥平面A1BD．
解（II）：
设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF， 由(Ⅰ)得AB1⊥平面A1BD，
?AF⊥A1D，
?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．
在△AA1D中，由等面积法可求得AF?145，又?AG?AB1?2，
25?sin∠AFG?AG210??AF454
510. 4所以二面角A?A1D?B的正弦值为解法二： 证明（I）：
取BC中点O，连结AO．
?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．
?在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ?AO?平面BCC1B1．
?????????????取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，
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则B(1，0，0)，D(?11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)， ?????AB(1，2，?3)???BD??(?2，1，0)????1?，，BA1?(?1，2，3)． ?????AB????????????1?BD??2?2?0?0，AB1?BA1??1?4?3?0，
?????AB????，????AB????1⊥BD1⊥BA1， ?AB1⊥平面A1BD．
解(II)设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)
???AD??(?11，，?3)，????AA1?(0，2，0)． ?????n⊥???AD?，n⊥AA1，
????n????AD??0，??x?y?3z?0，??y?0，?????AA ???n?1?0，?2y?0， ?????
?x??3z．令z?1得n?(?3，0，1)为平面A1AD的一个法向量，
由(I)知AB????1⊥平面A1BD，?AB1为平面A1BD的法向量， cos?n????，ABn?????AB1?31??n?????AB??3??612?224，
?二面角A?A101D?B的正弦值为4.
20．答案：
解（I）：?F1F2?23又?PF1?PF2?4?23，
?P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，2a?4,2c?23，
故椭圆方程为x2?y24?1. 解（II）：○1当切线斜率不存在时，切线为x??2，此时FM1?F2N?1 ○
2当切线斜率存在时，设切线方程为y?kx?b，则 用心 爱心 专心 9
?x2??y2?1 ?4?(1?4k2)x2?8kbx?4b2?4?0， ?y?kx?b???(8kb)2?4(1?4k2)(4b2?4)?0，即b2?4k2?1 F1M??3k?bk?12，F2N?3k?bk?12
F1M?F2N?b2?3k2k?12?4k2?1?3k2k?12?1，
故FM?F2N?1； 1解（III）：由（II）知，A(?b,0),B(0,b) kb24k2?1122 AB??b??4k?1??4k2?5 222kkk ?212?4k?5?3 2k当且仅当
1222?4k，即时取等号，故的最小值为3，此时斜率为. ?k??ABk22221.解答:
解（I）：由f?x??loga1?m?x?2?及f?2?x??f?2?x??0可得：
x?3loga1?m??2?x??2?1?m??2?x??2??loga?0
?2?x??3?2?x??3解之得：m??1．
当m?1时，函数f?x?无意义，所以，只有m??1． 解（II）：m??1时，f?x??logax?1 ，其定义域为???,1???3,???. x?3所以，?b,a?????,1?或?b,a???3,???． ①若?b,a???3,???，则3?b?a．
为研究x??b,a?时f?x?的值域，可考虑f?x??loga用心 爱心 专心
x?1在?3,???上的单调性． x?310
下证f?x?在?3,???上单调递减． 任取x1,x2??3,???，且x1?x2，则
x1?1x2?12?x2?x1????0
????x1?3x2?3x1?3x2?3又a?1，所以，logax1?1x?1，即f?x1??f?x2?． ?loga2x1?3x2?3所以，当?b,a???3,???，f?x?在?3,???上单调递减.
由题：x??b,a?时，f?x?的取值范围恰为?1,???，所以，必有b?3且f?a??1，解之得：a?2?3（因为a?3，所以舍去a?2?3）
②若?b,a?????,1?，则b?a?1． 又由于a?0,a?1，所以，0?a?1．
此时，同上可证f?x?在???,1?上单调递增（证明过程略）．
所以，f?x?在?b,a?上的取值范围应为?f?b?,f?a??，而f?a?为常数，故f?x?的取值范围不可能恰为?1,???．
所以，在这种情况下，a,b无解．
综上，符合题意的实数a,b的值为a?2?3，b?3.
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