第 29 卷 第3 期电 子 科 技 大 学 学 报Vol.29 No.3 2000 年6 月Journal of UEST of China Jun. 2000
1999年10月26日收稿
* 国家教委跨世纪优秀人才培养计划基金资助项目基金号教技厅[1997]2号 ** 女 25岁 硕士生
股票指数波动率的估计方法及其应用??
刘 莉???唐小我
(电子科技大学管理学院 成都 610054)
摘要 介绍了股票指数波动率的概念和基本的估计方法并用有关数据进行了计算利用其结果对
股票市场的风险进行了度量并对Black-Scholes期权定价公式进行了参数估计, 对进行组合证券保险具有重 要的意义
关 键 词 股票指数波动率; 隐含波动率 历史波动率 收益率 中图分类号 F830.9
1 波动率的含义及其意义
波动率也称为易变性是对股票市场风险程度的估计股票价格的波动率是对未来股票价格
走势不确定性的一种度量对组合证券而言股票指数的波动率是由于成分股票价格的变动而对
未来股票指数走势不确定性的一种度量当波动率增大时未来股票指数发生增减变动的可能性 也相应增加
股票指数波动率的大小会影响期权的价值在无红利支付的期权定价公式中主要的5个输入
变量是基础证券的价格期权的执行价格期权的到期时间无风险利率和证券价格的波动率
前3个输入变量可以很快地由期权合同条款得到无风险利率也能由通行的存贷款利率或国债利率
代表能否成功使用指数期权定价公式的关键性输入变量就是波动率[1]
2 历史波动率法估计股票指数波动率
2.1 用历史数据估计股票指数波动率的方法
已经证明股票价格具有对数正态分布特性股票价格行为满足[2~4] ST S ln ??ln j[(m ?s 2 /2)(T ??t),s T ??t ]
其关系对股票指数也成立ST 为未来时刻T 的股票指数S为当前时刻t的股票指数m 为股票指
数的期望增长率s是股票指数的波动率j (a, b)代表均值为a 标准差为b的正态分布因为
ln(S / S) T 的标准差为s T ??t 因此波动率是对证券收益的标准差的度量对股票指数波动率的
估计就是对股票指数收益的标准差的估计事实上对近期波动率的最直接的估计是用基本统
计学的方法对指数最大可能性变化进行估计 [4]
由历史数据估计股票指数的波动率观察指数的时间间隔通常是固定的(如每天每月和每周)
定义如下n 为n 个时间区间(观察次数为n +1次) i S 为在第i个时间区间末的股票指数(也是第i+1
个时间区间初的值) i=1, 2, 3, , n t 为以年为单位表示的时间区间的长度令ln( / ) ?1 ??i i i
u S S
因为i i i S S exp u ?1 ??所以i u 为第i 个时间区间内的连续复利收益率i u 的标准差的通常估计值为
?
??????
n i
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ui u n s
1
( )2 1 1
2 1 1
( ) ( 1) 1 1
2
1 ??????????????
??n i i n i
u n n u n
i
s
万方数据
312 电 子 科 技 大 学 学 报第29 卷
式中 u 是ui 的平均值除以n ??1 而不是n 是为了得到变量的无偏估计 [5]
由前面讨论可知i u 的标准差为s t 因此变量S 是s t 的估计值s 本身可被估计为s??则s ??s????s / t 此估计的标准误差近似为s??/ 2n 用历史数据估计波动率时需要说明以下情况[2] :
1) n 值的选择很重要在一般情况下数据越多结果越精确但现实中的s 值随时间变化 太陈旧的历史数据可能对于预测将来不起作用所以应选取最近90 100天的收盘指数作为数据资
料我们经常采用的一种比较粗略的估计方法是将要估计的某个时期的波动率与所要采用的资
料在时间上保持一致例如要估计一年期的波动率那么选用的历史资料也最好是一年内的数
据由于新数据比旧数据用处大可赋予近的数据比远的数据更大的权重
2) 在估计或使用波动率参数时还会涉及到另一个重要问题即以日历天数还是交易天数作
为计算的时间经验表明应当采用交易天数计算波动率的时候应扣除交易所闭市的天数
表1 用沪市1997年的历史数据对沪市1998年股票指数波动率进行估计1) 周Si Si / Si?1 ui ??ln( Si / Si ?1 ) 周Si Si / Si?1 ui ??ln(Si / Si?1 ) 0 917.018 26 1 154.916 0.996 18 ?0.003 82
1 899.613 0.981 02 ?0.019 16 27 1 209.857 1.047 57 0.046 47 2 918.401 1.020 88 0.020 67 28 1 170.862 0.967 77 ?0.032 76 3 919.851 1.001 58 0.001 58 29 1 192.828 1.018 76 0.018 59 4 953.918 1.037 04 0.036 37 30 1 206.053 1.011 09 0.011 03 5 964.742 1.011 35 0.011 28 31 1 143.064 0.947 77 ?0.053 64 6 1 017.131 1.054 30 0.052 88 32 1 171.833 1.025 17 0.024 86 7 1 040.273 1.022 75 0.022 50 33 1 221.064 1.042 01 0.041 15 8 1 077.720 1.036 00 0.035 36 34 1 251.550 1.024 97 0.024 66 9 1 125.800 1.044 61 0.043 65 35 1 208.697 0.965 76 ?0.034 84 10 1 167.168 1.036 75 0.036 09 36 1 184.521 0.980 00 ?0.020 20 11 1 202.668 1.030 42 0.029 96 37 1 109.634 0.936 78 ?0.065 31 12 1 260.963 1.048 47 0.047 33 38 1 097.383 0.988 96 ?0.011 10 13 1 278.525 1.013 93 0.013 83 39 1 130.785 1.030 44 0.029 98 14 1 338.033 1.046 54 0.045 49 40 1 176.489 1.040 42 0.039 62 15 1 364.957 1.020 12 0.019 92 41 1 178.306 1.001 54 0.001 54 16 1 393.749 1.021 09 0.020 87 42 1 180.393 1.001 77 0.001 77 17 1 467.227 1.052 72 0.051 38 43 1 195.141 1.012 49 0.012 42 18 1 315.921 0.896 88 ?0.108 84 44 1 197.832 1.002 25 0.002 25 19 1 254.266 0.953 15 ?0.047 99 45 1 158.555 0.967 21 ?0.033 34 20 1 285.182 1.024 65 0.024 35 46 1 139.628 0.983 66 ?0.016 47 21 1 275.304 0.992 31 ?0.007 7 2 47 1 136.204 0.997 00 ?0.003 01 22 1 243.979 0.975 44 ?0.024 87 48 1 153.840 1.015 52 0.015 40
23 1 291.199 1.037 96 0.037 26 49 1 160.768 1.006 00 0.005 99 24 1 250.272 0.968 30 ?0.032 21 50 1 191.919 1.026 84 0.026 48 25 1 159.342 0.927 27 ?0.075 51 51 1 194.102 1.001 83 0.001 83
注1 Si 为每周最后一个交易日的收盘指数Si / Si ?1 为相对股票指数ui ??ln(Si / Si?1) 为每周收益
万方数据
第3 期刘 莉 等 股票指数波动率的估计方法及其应用313
2.2 用1997年收盘指数对1998年股票市场波动率进行估计
本文以沪市1997年每周收盘指数为例我国1997年的交易天数为243天涉及到的交易周数为
51周表列出了每周最后一个交易日的收盘指数值其中第周的数据为1996年12月31日的收
盘指数时间区间个数n =51 观察次数n +1=52次以年为单位表示的时间区间的长度为该年所
包含的时间区间个数的倒数所以t =1/51 由表计算得到 0.264 02
51 1
?????i ui 0.062 95
51 1
2
?????i
ui
周收益标准差的估计值为 (0.264 02) 0.035 1 51 50 0.062 95 1 50 ( ) 1 ( 1) 1 1 1 2 2
1 1
′???′???′?????????
2
??????
????n i i n i
u n n u n s 0
年波动率s 的估计值为
100% 0.035 10 51 100% 0.251 25.1% 1/ 51
????′100%??0.035 10 ′???′?′?????t s s
其标准差为
100% 0.025 100% 2.5% 2 51
100% 0.251 2
′???′???′???′???n s
即由1997年沪市指数估计得到1998年波动率为25.1% 其标准误差为每年2.5% 2.3 用1998年的数据计算波动率
前面用1997年的数据估计了1998年的波动率下面用沪市1998年每周收盘指数计算1998年沪
市指数实际波动率并用这一结果验算1997年估计结果的准确度同时预测1999年沪市指数的波 动率
计算方法与前面相同n =50, t =1/50, 用1998年每周收盘指数可计算得到 0.040 51
i
50 1
??????
?i
ui 0.032 28
50 1