(1) ?,ξ1,?,ξn?r线性无关?
*k?*?k1ξ1???kn?rξn?r?0成立,
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0
A(k?*?k1ξ1???kn?rξn?r)?0?kA??k1Aξ1???kn?rAξn?r?0∵ξ1,ξ2,?,ξn?r为Ax=0的基础解系
*
?A?i?0(i?1,2,?,n?r)
?kA?*?0由于A?*?b?0
?k?b?0?k?0..
由于ξ1,ξ2,?,ξn?r为线性无关
k1ξ1?ξ2?k2???kn?r?ξn?r?0?ki?0∴?,ξ1,ξ2,?,ξn?1线性无关. (2) 证?,?+ξ1,?,?+ξn?r线性无关.
****(i?1,2,?,n?r)
?k?*?k1(?*?ξ1)???kn?r(?*?ξn?r)?0成立
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0
k?*?k1(?*?ξ1)???kn?r(?*?ξn?r)?0
即
(k?k1???kn?r)?*?k1ξ1???kn?rξn?r?0
由(1)可知，?,ξ1,?,ξn?1线性无关. 即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且
*k?k1?kn?r?0?k?0
∴?,?+ξ1,?,?+ξn?r线性无关.
（B类）
1.B 2. C 3. D 4. C 5. t=?3
***
6. R(A)=2；2；2
7. 设η1,η2,…,ηs是非齐次线性方程组Ax=b的一组解向量，如果c1η1+c2η2+…+csηs也是该方程组的一个解向量，则c1+c2+…+cs= . 解：因为η1, η2,…, ηs是Ax=b的一组解向量，则Aη1=b, Aη2=b,…, Aηs=b,又
C1η1+ C2η2+…+ Csηs也是Ax=b的一解向量，所以A(C1η1+…+ Csηs)=b，即C1Aη1+ CAη2+…+ CsAηs=b,即C1b+ C2b+…+ Csb=b,(C1+…+Cs)b=b,所以C1+…+ Cs=1.
8. 设向量组?1=（1，0，2，3），?2=（1，1，3，5），?3=（1，?1，a+2，1），?4=（1，2，4，a+8），?=（1，1，b+3，5）
问：（1） a，b为何值时，?不能由?1，?2，?3，?4线性表出？
（2） a，b为何值时，?可由?1，?2，?3， ?4惟一地线性表出？并写出该表出式. （3） a，b为何值时，?可由?1，?2，?3，?4线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式. 【解】
??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4 (*)
?1?0A?(A?b)???2??3?1?0??0??0113511121??121?r3?2r1?????a?24b?3?r4?3r1?1a?85?111??1?0?121?r?r32??????r4?2r2?0a2b?1????2a?52??0111?1?121??0a?10b??00a?10?111
(1) ?不能由?1，?2，?3，?4线性表出?方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.
(2) ?可由?1，?2，?3，?4惟一地线性表出?方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1. (*) 等价于方程组
?x1?x2?x3?x4?1?x?x?2x?1?234??(a?1)x3?b??(a?1)x4?0bba?b?1
?x4?0x3?x2?x3?1??1?a?1a?1a?1b2b?b?x1?1???0???1??a?1?a?1?a?12ba?b?1b?????1??2??3a?1a?1a?1(3) ?可由?1，?2，?3，?4线性表出，且表出不惟一?方程组（*）有无数解，即有 a+1=0,b=0?a=?1,b=0.
?x1?k2?2k1??x1?x2?x3?x4?1?x2?k1?2k2?1方程组（*）?? ??x?x?2x?1x3?k14?23??x4?k2?k1,k2,k3,k4为常数.
∴??(k2?2k1)?1?(k1?2k2?1)?2?k1?3?k2?4
9. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)
?x1?x2?2x4??6?x1?mx2?x3?x4??5??（Ⅰ）?4x1?x2?x3?x4?1 (Ⅱ) ?nx2?x3?2x4??11
?3x?x?x?3?x3?2x4?1?t123??(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；
(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？ 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换
?110?2?6??1?4?1?1?11???0????3??3?1?10???0?1 ???0??010?5?1?4?100?110?101?2?2?6?725???621???2??4???5???110?2?6??00?125?????010?1?4??
由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组
?x1?x4?0??x2?x4?0 （*） ??x3?2x4?0得方程组（*）的基础解系
??1???1??1??
?2??1?????2??4?令x4?0，得方程组（Ⅰ）的特解 ?????
??5??0??于是方程组（Ⅰ）的通解为x???k?，k为任意常数。
(2) 方程组（Ⅱ）的增广矩阵为
??1m?1?1?5???44m?3n0012?t??0n?1?2?11??21?t???0n0?4?10?t?
?001?????001?21?t???系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令
??4x1?(4m?3n)x2?0?nx2?4x4?0 ??x3?2x4?0方程组（**）的基础解系为
??3?m??4n?当n?0时，??????m??4??1??1?n?，当n?0时，?2??? ?2????0???0??1???方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则n?0，故有
??3??m?1?4n ? ??4?m?2 ??n?4?n?1把m，n代入方程组，同时有 1?t??5，即t = 6.
也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.
(**)
10. 设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为??x1?x2?0,又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为
?x2?x4?0,k1(0,1,1,0)′+k2(-1,2,2,1)′.
(1) 求齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2) 问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.
??1??? 1?x1?x2?0?x1??x2解：（1）由?，所以?，以x2,x3为自由未知数可得基础解系?1???，
? 0??x2?x4?0?x4?x2??? 1??0???0?2???.
?1????0??0???1???1??0?????????1 2 10?????????k?k?k（2）令k1，则可得： ?1?2? 2?3? 0?4?1?????????0 1 1???????0???k2??k3?k3?k2???k1?2k2?k3，即?k1??k2 ??k?k?k1?2k2?k42?4?k?k3?2?0???1???1???????1 2 1所以有公共解k1???k2???k?? ?k?k2??k1?
?1?? 2?? 1???????0 1????? 1?
习题五
（A类）
1. 计算??,??.