?1?20??x1??0???20?2??x???0? ???2?????0?2?1????0???x3???其基础解系为(2,1,?2)′
?2???∴ 与?3?1对应的特征向量为k?1,?????2??k?R且k?0.
2??(4)A??E?000∴ A的特征值为1,2. (i) 当?1??2??3?1时,
3?1??11?1?22??1?41?22???(2??)??1??11?22??11?22??
??(??1)3?(2??)?0??1??2??3?1,?4?2?13?1?4??x1??0??0?2?21??x??0????2???? ?011?2??x3??0???????0111???x4??0?其基础解系为(4,?1,1,0)′.
∴ 其对应的特征向量为k·(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0. (ii) 当?4?2时，
?03?1?4??x1??0??0?3?21??x??0????2????, ?010?2??x3??0???????0110???x4??0?其基础解系为：（1,0,0,0）′.
∴ 其对应的特征向量为
?1??0?k???,?0????0??1?x1??2?,????2??
k?R且k?0.
11.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为
?2?x2???2?,????1????2?x3???1?,
????2??
求矩阵A. 【解】
Ax1??1x1,Ax2??2x2,Ax3??3x30? ?0??3????10?A(x1,x2,x3)?(?1x1,?2x2,?3x3)?(x1,x2,x3)??0?2??00由于?1?1,?2?0,?3??1为不同的特征值?x1,x2,x3线性无关，则有
?12?2?(x1,x2,x3)??2?2?1?可逆
???2??21??12?2??100??12?2???102?1?A??2?2?1??000??2?2?1???012?.
???????3???2?2??21???00?1????21??220??12. 设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，
1，1）′，求A.
【解】?1??1对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设?2?1对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0. 得方程组的基础解系为
?1?1??,?1??1????0??可知?1,?2为?2?1对应的特征向量. 将x1,?1,?2正交化得
?1??,
?2??0????1?????111?,,?1?x1=(?1,1,1)T, 单位化：e1?1??;
?1?333????11?,,0?; ?2??1 =(1,1,0)T, e2?2???2?22?T?3,?1??3,?2????11???3??3??1??2??,?,1?,e3???22???1,?1???2,?2??TT112?,?,?. 666?T
??1?3??1P??3??1??3??1?3??1?A??3??1??3121201?6????100?1??1?010?. ?PAP? 则有
??6????001??2?6??121201???1?36????100??1????1?010??36?????001???2??1?6???3121201??1??36??1??2???36???2??2??36???123132?32?3??2??. 3??1?3??13. 若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者
是零.
【证明】设幂等矩阵的特征值为?，其对应的特征向量为x.
Ax??x;A(Ax)?A(?x)?A2x??Ax??2x;由A2=A可知?Ax??x??x??x; 所以有??????0或者?=1.
222
14. 若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.
【证明】设?是A的特征值，x是对应的特征向量. 则Ax=?x A2x=?(Ax)=?2x 由A2=E可知
x=Ex=A2x=?2x ?(?2?1)x=0,
由于x为?的特征向量，∴ x≠0??2?1=0??=±1.
15. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，?1,?2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明?1+?2不是A的特征向量.
证明：假设?1+?2是A的属于特征根λ的特征向量，则
A（?1+?2）=λ（?1+?2）=λ?1+λ?2.
又 A（?1+?2）= A?1+ A ?2=λ1?1+λ2?2 于是有 （λ?λ1）?1+（λ?λ2）?2 =0 由于?1??2，?1与?2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0. 从而?1??2与?1??2矛盾，故?1+?2不是A的特征向量.
??200???100?????16. 设矩阵A?2x2与B?020相似. ???????211???00y??
(1) 求x与y；
－
(2) 求可逆矩阵P，使P1AP=B.
【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.
??2???A??E??2??2由于?1为A的特征值，可知
0???(2??)??(x??)(1??)?2??0 x??2??11????0A+E??(2?1)?(x?1)2?2??0?x?0.
将x=0代入|A??E|中可得
A??E??(2??)?(??)(1??)?2??0
??(2??)(??2)(??1)?0,??1??2,?2?2,?3??1可知y= ?2.
(2) (i) 当?1=?1时,
??100??x1??212??x??0 ???2???212????x3??其基础解系为 ?1=(0,?2,1)T,
?1= ?1对应的特征向量为 ?1=(0,?2,1)T.
(ii) 当?2=2时,
??400??x1??0??2?22??x???0? ???2?????21?1????0???x3???其基础解系为 ?2=(0,1,1)T 所以?2=2对应的特征向量为 ?2=(0,1,1)T (ⅲ) 当?3=?2时,
?000??x1??0??222??x???0?, ???2?????213????0???x3???其基础解系为 ?3=(?2,1,1)T,
取可逆矩阵
?00?2?p?(?1,?2,?3)???211?
????111??则
p?1AP?B.
?11?1???， 求A100.
17. 设A?001????0?23??【解】
1??A??E?001???11?(1??)(??1)(??2)?0
?23???特征值为?1??2?1,?3?2.
(i) 当?1??2?1时,
?01?1??x1??0??0?11??x???0? ???2?????0?22????0???x3???其基础解系为
?0??1?,????1??(ii) 当?3?2时,
?1??1?. ????1????11?1??x1??0?21??x??0 ???2???0?21????x3??其基础解系为(?1,1,2)T.
?01?1??1????1?1?
令p?111,则pAP???????2??112????