高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
问? 为什么(x0? y0)不取(0? 0)?
例6 验证? 在整个xOy面内? xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函数?
解 这里P?xy2? Q?x2y?
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数? 且有
?Q?2xy??P? ?x?y所以在整个xOy面内? xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?
取积分路线为从O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折线? 则所求函数为
(x,y)yyu(x,y)??(0, 0)xy2dx?x2ydy?0??0x2ydy?x2?0x2y2ydy??
2思考与练习?
1?在单连通区域G内? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏导数? 且恒有么
(1)在G内的曲线积分
?Q?P?? 那?x?y?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否与路径无关? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否为零?
?Q?P?? ?x?y(2)在G内的闭曲线积分
(3) 在G内P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函数u(x? y)的全微分?
2?在区域G内除M0点外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏导数? 且恒有G1是G内不含M0的单连通区域? 那么 (1)在G 1内的曲线积分
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否与路径无关? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否为零?
(2)在G 1内的闭曲线积分
(3) 在G 1内P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函数u(x? y)的全微分? 3? 在单连通区域G内? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏 导数?
?P??Q? 但?Q??P非常简单? 那么 ?y?x?x?y重庆三峡学院高等数学课程建设组
(1)如何计算G内的闭曲线积分?
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(2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算
?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L为逆时针方向的
上半圆周(x?a)2?y2?a 2? y?0?
§10? 4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题?
设?为面密度非均匀的物质曲面? 其面密度为?(x? y? z)? 求其质量? 把曲面分成n个小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si也代表曲面的面积)? 求质量的近似值?
??(?i,?i,?i)?Si((?i? ?i? ?i )是?Si上任意一点)?
i?1n 取极限求精确值?
M?lim??(?i,?i,?i)?Si(?为各小块曲面直径的最大值)?
??0i?1n 定义 设曲面?是光滑的? 函数f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si也代表曲面的面积)? 在?Si上任取一点(?i? ?i? ?i )? 如果当各小块曲面的直径的最大值??0时? 极限lim?f(?i,?i,?i)?Si总存在? 则称此极限为函数f(x? y? z)在曲面?上对
??0i?1n面积的曲面积分或第一类曲面积分? 记作
n??f(x,y,z)dS? 即
?
lim?f(?i,?i,?i)?Si? ??f(x,y,z)dS???0i?1?其中f(x? y? z)叫做被积函数? ?叫做积分曲面? 对面积的曲面积分的存在性?
我们指出当f(x? y? z)在光滑曲面?上连续时对面积的曲面积分是存在的? 今 后总假定f(x? y? z)在?上连续?
根据上述定义面密度为连续函数?(x? y? z)的光滑曲面?的质量M可表示为?(x? y? z)在?上对面积的曲面积分?
M???f(x,y,z)dS
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如果?是分片光滑的我们规定函数在?上对面积的曲面积分等于函数在光滑的
各片曲面上对面积的曲面积分之和? 例如设?可分成两片光滑曲面?1及?2(记作???1??2)就规定
?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
?1?2 对面积的曲面积分的性质? (1)设c 1、c 2为常数? 则
??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?
??? (2)若曲面?可分成两片光滑曲面?1及?2? 则
??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
??1?2 (3)设在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 则 (4)
??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?
????dS?A? 其中A为曲面?的面积?
? 二、对面积的曲面积分的计算 面密度为f(x? y? z)的物质曲面的质量为
M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???f(x,y,z)dS?
??0i?1?n 另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为D ? 那么 曲面的面积元素为dA?质量元素为
2(x,y)?z2(x,y)dxdy? 1?zxy2(x,y)?z2(x,y)dxdy? f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zxy根据元素法? 曲面的质量为
2(x,y)?z2(x,y)dxdy? M???f[x,y,z(x,y)]1?zxyD因此
y(x,y)dxdy? ??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?D重庆三峡学院高等数学课程建设组
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化曲面积分为二重积分? 设曲面?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为Dxy? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有连续偏导数? 被积函数f(x? y? z)在?上连续? 则
2(x,y)?z2(x,y)dxdy? f(x,y,z)dS?f[x,y,z(x,y)]1?zxy?????Dxy 如果积分曲面?的方程为y?y(z? x)? Dzx为?在zOx面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为
??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]1?yz2(z,x)?yx2(z,x)dzdx?
?Dzx 如果积分曲面?的方程为x?x(y? z)? Dyz为?在yOz面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为
2y(y,z)?xz(y,z)dydz? ??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]1?x2?Dyz 例1 计算曲面积分
??zdS? 其中?是球面x?y?z?a被平面
2
2
2
2
1?z?h(0?h?a)截出的顶部? 解 ?的方程为z?因为 zx?a2?x2?y2? Dxy ? x2?y2?a2?h2?
?y?x? zy??
222222a?x?ya?x?y
2?z2dxdy?dS?1?zxyadxdy? 222a?x?y所以
1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy ?Dxy 提示?
?a?d??02?a2?h20rdr?2?a[?1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?
0h2a2?r22?z21?zxy2y2xa? ?1?222?222?222a?x?ya?x?ya?x?y 例2 计算
??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所围成的四面体的整个
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边界曲面?
解 整个边界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次记为?1、?2、?3及?4? 于是
??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS
??1?2?3?4
?0?0?0???xyzdS???3xy(1?x?y)dxdy
?4Dxy
?3?xdx?011?x0(1?x)3dx?3? y(1?x?y)dy?3?x?061201提示? ?4? z?1?x?y?
§10? 5 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面? 通常我们遇到的曲面都是双侧的? 例如由方程z?z(x? y) 表示的曲面分为上侧与下侧? 设n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量? 在曲面的上侧cos??0? 在曲面的下侧cos??0? 闭曲面有内侧与外侧之分?
类似地? 如果曲面的方程为y?y(z? x)?则曲面分为左侧与右侧? 在曲面的右侧cos??0? 在曲面的左侧cos??0? 如果曲面的方程为x?x(y? z)? 则曲面分为前侧与后侧? 在曲面的前侧cos ??0? 在曲面的后侧cos??0?
设?是有向曲面? 在?上取一小块曲面?S? 把?S投影到xOy面上得一投影区域? 这投影区域的面积记为(??)xy?假定?S上各点处的法向量与z轴的夹角?的余弦cos?有相同的符号(即cos?都是正的或都是负的)? 我们规定?S在xOy面上的投影(?S)xy为
22? dS?1?z??zy3dxd?yxydxd??(??)xy cos??0? (?S)xy???(??)xy cos??0?
??0 cos??0其中cos??0也就是(??)xy?0的情形? 类似地可以定义?S在yOz面及在zOx面上的投影(?S)yz及(?S)zx?
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