高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
解 这里P?(y?z)x? Q?0? R?x?y?
?P?y?z? ?Q?0? ?R?0?
?x?z?y由高斯公式? 有
??(x?y)dxdy?(y?z)dydz
?
????(y?z)dxdydz????(?sin??z)?d?d?dz
??
??d???d??(?sin??z)dz??9?? 00022?132cos2cos??z2cos?)dS? 其中?为锥面x2?y2?z2介于(x??y??? 例2 计算曲面积分
平面z?0及z?h (h>0)之间的部分的下侧? cos?、cos?、cos?是?上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦?
解 设?1为z?h(x2?y2?h 2)的上侧? 则?与?1一起构成一个闭曲面? 记它们围成的空间闭区域为?? 由高斯公式得
??(x?2cos??y2cos??z2cos?)dS
dxdy?hx2?y
?2x2?y2?h2??(x?y?z)dz?22x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2zdz
?2?x2?y2)dxdy?1?h4 (h??22x?y2?h2提示?
x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2(x?y)dz?0?
2dxdy??h4? h??而
2cos2cos??z2cos?)dS?2dS?(x??yz?????1?1x2?y2?h2因此
2cos2cos??z2cos?)dS?1?h4??h4??1?h4? (x??y??22?重庆三峡学院高等数学课程建设组
高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
提示? 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性? ?
?
例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数? 证明
?vdS?(?u?v??u?v??u?v)dxdydz?
u?vdxdydz?u??????n????x?x?y?y?z?z???其中?是闭区域?的整个边界曲面? 号???v为函数v(x, y, z)沿?的外法线方向的方向导数? 符
?n?????? 称为拉普拉斯算子? 这个公式叫做格林第一公式? ?x2?y2?z2 证? 因为方向导数
?v??vcos???vcos???vcos?? ?n?x?y?z其中cos?、cos?、cos?是?在点(x? y? z)处的外法线向量的方向余弦? 于是曲面积分
?vdS?u(?vcos???vcos???vcos?)dS u???n???x?y?z?????[(u?v)cos??(u?v)cos??(u?v)cos?]dS?
?x?y?z?重庆三峡学院高等数学课程建设组
高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
利用高斯公式? 即得
?vdS?[?(u?v)??(u?v)??(u?v)]dxdydz
u???n????x?x?y?y?z?z??????u?vdxdydz????(?u?v??u?v??u?v)dxdydz?
?x?x?y?y?z?z??
将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式? 二、通量与散度
高斯公式的物理意义? 将高斯公式 改写成
?P??Q??R)dv?(Pcos??Qcos??Rcos?)dS
(????x?y?z?????P??Q??R)dv?vdS? (????x?y?z??n??其中vn?v?n?Pcos? ?Qcos? ?Rcos?? n?{cos? ? cos? ? cos?}是?在点(x? y? z)处的单位法向量? 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流体的总质量? 左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量? 散度?
设?的体积为V? 由高斯公式得
1(?P??Q??R)dv?1vdS?
??nV????x?y?zV??其左端表示?内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值? 由积分中值定理得
?Q(?P???R)|(?,?,?)?1??vndS? ?x?y?zV??P??Q??R?lim1vdS?
n?x?y?z??MV???重庆三峡学院高等数学课程建设组
令?缩向一点M(x? y? z)得
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上式左端称为v在点M的散度? 记为divv? 即
?Qdivv??P???R?
?x?y?z 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量? 一般地? 设某向量场由
A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k
给出? 其中P? Q? R具有一阶连续偏导数? ?是场内的一片有向曲面? n是?上点(x? y? z)处的单位法向量? 则
??A?n?叫做向量场A通过曲面?向着指定侧的通量(或流量)? 而
?P??Q??R叫做向量场A的散度? 记作div A? 即 ?x?y?z
?QdivA??P???R?
?x?y?z 高斯公式的另一形式?
???divAdv???A?ndS? 或???divAdv???AndS?
????其中?是空间闭区域?的边界曲面? 而 An?A?n?Pcos??Qcos??Rcos? 是向量A在曲面?的外侧法向量上的投影?
§10? 7 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式
定理1 设?为分段光滑的空间有向闭曲线? ?是以?为边界的分片光滑的有向曲面? ?的正向与? 的侧符合右手规则? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在曲面?(连同边界)上具有一阶连续偏导数? 则有
?R??Q)dydz?(?P??R)dzdx?(?Q??P)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?
(????y?z?z?x?x?y?? 记忆方式?
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高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
dydz? ???x?Pdzdx??yQdxdy??Pdx?Qdy?Rdz?
??z?Rcos?cos?cos????dS?Pdx?Qdy?Rdz?
或 ????x?y?z??PQR其中n?(cos? ? cos? ? cos?)为有向曲面?的单位法向量?
讨论? 如果?是xOy面上的一块平面闭区域? 斯托克斯公式将变成什么? 例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分
??zdx?xdy?ydz? 其中?为平面x?y?z?1被三
个坐标面所截成的三角形的整个边界? 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则?
解 按斯托克斯公式? 有
??zdx?xdy?ydz???dydz?dzdx?dxdy?
? 由于?的法向量的三个方向余弦都为正? 又由于对称性? 上式右端等于3Dxy??d??
其中Dxy为xOy 面上由直线x?y?1及两条坐标轴围成的三角形闭区域? 因此
3? zdx?xdy?ydz??2? 解 设?为闭曲线?所围成的三角形平面? ?在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy ? 按斯托克斯公式? 有
dydzdzdxdxdy???
?zdx?xdy?ydz????x?y?z??zxy
???dydz?dzdx?dxdy???dydz???dzdx???dxdy?3??dxdy ?3?
2?DDDDyzzxxyxy 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I??(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz ?
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