y?0F(y)??f(y)dy??0.2dy??(0.2?1.2y)dy?????10?01?0.2dy?(0.2?1.2y)dy???0??1y??1?1?y?0
0?y?1y?10??0.2(y?1)???2?0.6y?0.2y?0.2?1?y??1?1?y?00?y?1y?1
P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25；
P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}P{Y?0.1}01?1?P{Y?0.5}1?P{Y?0.1}x?0?1?F(0.5)1?F(0.1)?1?0.451?0.226?0.7106
????x?2（2）F(x)?f(x)dx???????0?2????0x?8dx01818xdx?dx??8242xxdx?8dx?00?x?2??x/8??2x/162?x?4??1?x?4x?00?x?22?x?4x?4
P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16；
P{X?1|X?3}?P{?1X?3}P{X?3}?F(3)?F(1)F(3)?7/9。
13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
P{X?i,Y?j}?161n(n?1)，（i?j，且1?i,j?n）
当n取3时， P{X?i,Y?j}?X 1 2 3 ,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为
2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 Y 1 0 1/6 1/6 16
概率论与数理统计及其应用习题解答
14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
X 0 1 2 （1） （2） （3）
Y 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 求P{X?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}； 求至少有一根软管在使用的概率； 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。
解：（1）由表直接可得P{X?1,Y?1}=0.2，
P{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9
（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6
P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0f(x,y)??
其他0，?试确定常数C，并求P{X?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。 解：根据
??f(x,y)dxdy?1，可得
???????(2x?4y)???2xx?0,y?01???f(x,y)dxdy??dx0?Ce0dy?C?e0dx?e0?4ydy?C8，
x?0,y?0所以C?8。
???????(2x?4y)???2xP{X?2}???x?2f(x,y)dxdy??dx2???8e0xdy??2e2??dx?4e0x?4ydy?e???4；
P{X?Y}???x?yf(x,y)dxdy??dx?8e001?(2x?4y)dy??2e0?2xdx?4e0?4ydy??2e0?2x(1?e?4x)dx?231?x?(2x?4y)11?x?2xP{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e0dx?4e0?4ydy?(1?e?2)。
2x?y?1 17
概率论与数理统计及其应用习题解答
16，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x,y?x/2,x?1所围成的区域G均匀分布。 （1） （2）
求（X，Y）的概率密度； 求边缘概率密度fX(x),fY(y)。
22解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
1????6,(x,y)?G。 f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?f(x,y)，得到f(x,y)??0，其他62?1x21G0x/22??x?（2）ff(x,y)dy????6dy?3x2，0?x?1X(x)??2；
?x/2???0,其他?2y?6dx，0?y?0.5??y???1?f)??f(x,y)dx??Y(y??6dx，0.5?y?1??6(2y?y)，?6(1?y)，???y???0，其他?0，??18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为
?x3?x(1?yf(x,y)????2e)，x?0,y?0?0，其他，
（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)；
（2）
求条件概率密度fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度； （3）
求条件概率P{Y?1|X?0.5}。
?????x32?x(1?y)解：（1）f??edy?xe?x,x?0X(x)??f(x,y)dy??022。
????0,其他（2）当x?0时，
f(y|x)?f(x,y)?xe?xy,y?0Y|Xf??。
X(x)?0,其他特别地，当x?0.5时
0?y?0.50.5?y?1其他18
概率论与数理统计及其应用习题解答
fY|X?0.5e?0.5y,y?0。 (y|x?0.5)??0,其他?????（3）P{Y?1|X?0.5}??1fY|X(y|x?0.5)dy??0.5e1?0.5ydy?e?0.5。
19，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。 （2）在16题中求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。
解：（1）根据公式P{Y?i|X?0}?为
P{Y?i,X?0}P{X?0}，得到在X?0的条件下Y的条件分布律
Y 0 5/12 1 1/3 2 1/4 P{Y|X?0} 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为
X
0 4/17
1 10/17
2 3/17
P{X|Y?1} ?6,?0，(x,y)?G其他（2）因为f(x,y)??。
2?6(2y?y)，0?y?0.5?x2??6dy?3x，0?x?1fX(x)??2?；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。
x/2??0，其他其他?0,?所以，当0?x?1时，fY|X(y|x)?f(x,y)?2?,??x2fX(x)??0,x/2?y?x其他22；
当0?y?0.5时，fX|Y?f(x,y)?(x|y)???fY(y)??f(x,y)12y?0,y,y?x?其他2y；
当0.5?y?1时，fX|Y(x|y)??1,???1?yfY(y)?0,?y?x?1其他；
当y?0.5时，fX|Y1?,?(x|y)??1?0.5?0,?0.5?x?1其他。
19
概率论与数理统计及其应用习题解答
20，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；
（3）
求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?1G0x3f(x,y)，得到f(x,y)??3,(x,y)?G??0，其他。2???x（2）f?X(x)??f(x,y)dy???3dy?3(x?x2)，0?x?12；
x????0,其他?y??3dx，0?y?1???y2?3(y?y2)，0?y?1fx,y)dx??Y(y)??f(????。 ?????0，其他?0，其他???2（3）当0?x?1时，fY|X(y|x)?f(x,y)?12,x?y?xf??x?x。
X(x)??0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为
?4fY|X(y|0.5)???22?1,1/4?y?2/2。
??0,其他21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为
?2?xf?，0?x?2X(x)??6
??0,其他且当X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为
?1fY|X(y|x)???xy?1?x/2,0?y?1，
??0,其他 20
概率论与数理统计及其应用习题解答
（1） 求(X,Y)联合概率密度；
求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；
求在Y?y的条件下X的条件概率密度fX|