Y(x|y)。
（2） （3）
解：（1）f(x,y)?fX(x)fY|X?1?xy?(y|x)??3??00?x?2,0?y?1其他；
?21?xy2dx?(1?y)??（2）fY(y)?3?f(x,y)dx??03???0???0?y?1其他；
（3）当0?y?1时，fX|Y(x|y)?f(x,y)?1?xy,???2(1?y)fY(y)?0,?0?x?2其他。
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为 Y -1 0 1 pk ?2 1?? ?2 又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求
P{Y1?Y2}。
（2）问在14题中X,Y是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为
P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1
结果写成表格为
Y1 Y2 -1 0 -1 0 1
?/4 2?(1??)/2 (1??) 2?/4 2?(1??)/2 ?/4 2?(1??)/2 ?/4 221 ?(1??)/2 2P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)??（2）14题中，求出边缘分布律为
/2。
21
概率论与数理统计及其应用习题解答
X Y 0 1 2 P{X?i} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?j} 0.16 0.34 0.50 1 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。 23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为
fy)??8y0?y?1/2Y(??0其他
试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。 解：根据题意，X的概率密度为
f)??10?x?1X(x?
?0其他所以根据独立定，X,Y的联合概率密度为
f(x,y)?f(x)f?8y0?x?1,0?y?1/2XY(y)???0其他。
1/21P{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8ydx?23
x?y0y
24，设随机变量X具有分布律 X -2 -1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2?1的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为
Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30 25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。
解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则
22
概率论与数理统计及其应用习题解答
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，
f'U(u)??FU(u)??2fX(u)?22/2?e?u。
?2?u所以，fu)??e2/2u?0U(????0u?0。
26，（1）设随机变量X的概率密度为
?e?xf(x)??x?0?0其他
求Y?X的概率密度。
（2）设随机变量X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。
解：设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则 （1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；
当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?F2X(y)，
fY(y)??FY(y)?'?2yf(y2)?2ye?y2X。
?y2所以，f)???y?0?2yeY(y??0y?0。
（2）此时f?1/2?1?x?1X(x)???0其他。
因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故， f'Y(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,?1?2y?1?1，
所以，f?1?y?1Y(y)?0??0其他。
（3）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}
23
概率论与数理统计及其应用习题解答
??(y)??(?故， fY(y)??FY(y)??2fX('y)?2?(y)?1，
12?ye?y/2y)12y?。
??所以，fY(y)????12?y0e?y/2y?0其他。
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。 解：圆面积A??X2
，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则
G(y)?P{?X2?y}?P{X?12?yy/?}?FX(y/?)， 故
12?y?3y?8?g(y)??G(y)??'f(y/?)???3y?16?y?,0?y/??2
?3y???所以，g(y)??16?y??00?y?4?其他。
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为
?z?z2/(2?2)?efZ(z)???2?0?解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
x?y2?22z?0其他。
2f(x,y)?12??2?e2。
2先求分布函数，当z?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?z?Y?z}
r222?2??2f(x,y)dxdy?2?d?0x?y?z?2??01?2e2??z22rdr?1?e2?，
24
概率论与数理统计及其应用习题解答
故，
fZ(z)??FZ(z)?'?z?z2/(2?2)?e???2?0?z?0其他。
29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度f(y)?1，???y???，
Y?(1?y2)设X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。 解：因为f?1/2?1?x?1X(x)???0其他，所以Z?X?Y的概率密度为
??z?1f1Z(z)??fY(y)fX(z?y)dy???1?1)?。??z?12?(1?y2)dy2??arctan(z?1)?arctan(z30随机变量X和Y的概率密度分别为
f)???e??xx?0X(x，fy)?????2ye??yy?0Y(?0其他?0其他
??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。
解： 根据卷积公式，得
??zfzZ(z)??fY(y)fX(z?y)dy???3ye??dy??3??02z2e??z，z?0。
所以Z?X?Y的概率密度为
??32?f(y)???2ze?zz?0Y。
??0其他31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。 解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
f?10?x?1?10?x?1X(x)??，f?0其他Y(y)???0其他
根据卷积公式，得
?1?z?????1dy,1z?1?2?z,1?z?fZ(z)??fy)f?z2?Y(X(z?y)dy???1dy,0?z?1??z,0?z?1 。
???0??0,其他?0,其他??32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
?3?3x?e，x?0,0?y?2 f(x,y)??2其他??0，（1） （2）
求边缘概率密度fX(x