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自测题(第三章)
一、填空（每小题4分）
1.设离散型随机变量(X,Y)的分布律如表（1），则a? . 2.设离散型随机变量(X,Y)的分布律如表（2），则P{X?1,Y?2}? .
2 Y 0 1 1 X
1/6 1/3 1 0.1 0 a 1 1/9 2 0.3 0
2 1/18 1/9 3 0 0.2
(1) (2)
3．设X与Y的分布律分别为
0 0 1 Y X
q p q pk pk Y X 0 3 0.1 0.1 0 4 0 0.2 0 1 p 0?p?1,p?q?1,且X与Y相互独立，则(X,Y)的分布律为 .
4. 设两个相互独立的随机变量X与Y均在[0，1]上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为 .
二、（15分）设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：
?ke?(2x?5y),x?0,y?0, f(x)??0, 其它?(1) 确定常数k;
(2) 求(X,Y)的分布函数。
三、（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：
?24y(1?x),0?x?1,0?y?x，求关于X、Y的边缘分布密度。 f(x)??0,其它?四、（15分）设随机变量X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为：
?e?x,x?0,?2e?2y,, fY(y)??fX(x)???0,其它?0,y?0,其它
试求：1. (X,Y)的联合分布密度与分布函数；2. P{0?X?1,0?Y?2}.
五、（10分）设随机变量(X,Y)的分布函数为：
???siny,0?x?,0?y??sinx?F(x,y)??22
??0, 其它 求(X,Y)的概率密度，且问X与Y是否相互独立？
六、（10分）设相互独立的随机变量X与Y的概率密度分别为：
xy?1?3?1?4?e,?e,x?0,, fY(y)??4fX(x)??3?0,?0,其它??y?0,其它
试求Z?X?Y的分布密度。
七、（10分）设随机变量X与Y的联合分布是正方形G?{(x,y):1?x?3,1?y?3}上的均匀分布，试求随机变量U?|X?Y|的概率密度f(u).
八、(14分)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为：
?ce?(3x?4y),x?0,y?0, f(x)??0,其它?（1） 确定常数c;
（2） 求边缘分布密度fX(x),fY(y); （3） 求(X,Y)的联合分布密度； （4） 讨论X与Y的独立性； （5） 求P{0?X?1,0?Y?2}.
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a) 随机变量的数字特征 练习4.1 数学期望
一、填空
1.设随机变量X的分布律为：
0 1 2 ?1 X pk 0.2 0.1 0.3 0.4
则E(X)? ; E(|X|)? ; E(X2)? ; E(2X)? .
x??1,?0, ??arcsinx, ??1x?则1,a? ; 2. 随机变量X的分布函数为F(x)??a?b?1, x?1,?b? ;E(X)? ;E(X2)? . ?k,0?x?1，0?y?1,3. 设随机变量(X,Y)的分布密度为：f(x,y)??
0,其它?则k? ; E(X)? ;E(Y)? ;E(XY)? .
24. 设随机变量X~N(?,?),则E(|X??|)? .
x?0,?0, ?35. 设随机变量X的分布函数为F(x)??x, 0?x?1,则E(X)? .
?1, x?1,?6. 设P(X?n)?1,(n?1,2,?,),则E(X)? . 2n(n?1)（X）7. 若随机变量X的期望E存在，则E[E[E（X）]]? .
8. 设X1,X2,X3都服从[0，2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)? . 9. 设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则E(X,Y)? . Y 0 1/10 3/10 1/20 1/10 1 7/20 1/10 2 X -1 2
二、对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，求试验次数X的数学期望。 三、设随机变量X的概率密度为f(x)???2(1?x),0?x?1，,试求数学期望E(X).
其它?0,四、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望。
l交x轴于B五、平面上点A的坐标为（0,a),其中a?0,过A点的直线l与y轴的夹角为?，
点，已知?在[0,?4]上均匀分布，求?OAB的面积的数学期望。
六、设X与Y是相互独立的两个随机变量，密度函数分别为：fX(x)???2x,?0,f?e?(y?5),y?5，Y(y)??求E(XY). ?0,其它.
0?x?1，其它；
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练习4.2 方差
一、填空
1. 设X为随机变量，且E（X）?1,E(X2)?2,则D(X)?_______. 2. 设X~N(0，?2)，则D(aX?b)?_______.
（X）?2.4,D（X）?1.44,则二项分布的参数3. 已知随机变量X服从二项分布，且En? , p? 。
（X）存在，且E4. 设随机变量X的期望E（X）?a,E（X2）?b,c为常数，则
D（cX)? . （X）?3，D（X）?5. 设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E度为 , P{X?2}? , P{1?X?3}? .
1，则X的概率密3（X）? , 6. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则ED（X）? .
（X）? . 7. 设X为一随机变量，若D(10X?1)?10,则DX2X21?1)?2?1)?,则8. 设随机变量X的期望EX为一非负值，且E(,D(222E（X）? 。
29. 若随机变量X~N(?,?),则Y?X?3服从 分布。 231??010. 若随机变量X1,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布?则X??Xi服?，
i?1?0.80.2?（X）? , D（X）? . 从 分布，且E二、设随机变量X的分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1为常数，
（X）求D。
?x?x2?2e2?,x?0（X）三、设随机变量X的概率密度为f(x)???，其中??0的常数，求D。
?0, x?0?四、（1）设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E（Xi）?i,D(Xi)?5?i,i?1,2,3,4,设
2Y?2X1?X2?3X3?1（Y）X4,求D.
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