补课讲义
函数与基本初等函数（一）
一、 函数及其表示
A.基础梳理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
B.方法与要点 1.一个方法
求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：
①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 2.两个防范
(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 3.三个要素
函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.
C.双基自测
1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析 ∵3＋1＞1， ∴f(x)＝log2(3＋1)＞log21＝0. 答案 A 2．(2011·江西)若f(x)?1log12xx
(2x?1)，则f(x)的定义域为( )．
1
111
A.?－，0? B.?－，0? C.?－，＋∞? D．(0，＋∞) ?2??2??2?1
解析 由log1(2x?1)?0，即0＜2x＋1＜1， 解得－＜x＜0. 答案 A
2
23．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A．f(x)＝lg x，g(x)＝2lg x B．f(x)＝lgC．f(u)＝ 答案 C
4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )．
x??x＋3? C．y＝?x＋4? D．y＝?x＋5? A．y＝? B．y＝
?10??10??10??10?解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为x＋3?7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝??10?.故选B. 答案 B
（方法二）依题意知：若x?16，则y?1，由此检验知选项C,D错误；若x?17，则y?2，由此检验知选项
A错误.故由排除法知，本题应选B.
2
x＋1
，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1) x－1
1＋u
，g(v)＝ 1－u1＋v
D．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2 1－v
D.考点解析
考点一 求函数的定义域
【例1】1、求下列函数的定义域： (1)f(x)＝|x－2|－1ln?x＋1?
； (2)f(x)＝.
2log2?x－1?－x－3x＋4
[审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得． |x－2|－1≥0，?
?
解 (1)要使函数f(x)有意义，必须且只须?x－1>0，
??x－1≠1.
解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．
??x＋1>0，
(2)要使函数有意义，必须且只须?2
?－x－3x＋4>0，???x>－1，
即?解得：－1 因此f(x)的定义域为(－1,1)． 求函数定义域的主要依据是 2 (1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. 【训练1】 1.（2008湖北卷4）函数f(x)?1xln(x?3x?2?2?x?3x?4)的定义域为D 2A. (??,?4]?[2,??) B. (?4,0)?(0.1) C. [-4,0)?(0,1] D. [?4,0)?(0,1) （注：本题易错选C，还须验证：当x?1时，自然对数的真数等于0，所以应排除） 1112 2.(1)已知f(x)的定义域为?－，?，求函数y＝f?x－x－?的定义域； ?22??2?(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域． ?111?12112 ?， ∴－≤x－x－≤， 解 (1)令x－x－＝t， 知f(t)的定义域为?t?－≤t≤ 22?222??2 2????x－x≥0， 整理得?2??1－51＋5??x－x－1≤0≤x≤，? x≤0或x≥1， ?2 2 ∴所求函数的定义域为 ?1－5?∪?1＋5?. ?2，0??1，2? (2)用换元思想，令3－2x＝t， f(t)的定义域即为f(x)的定义域， ∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5， 故f(x)的定义域为[－1,5]． 考点二 求函数的解析式 2?＝lg x，求f(x)； 【例2】?(1)已知f?＋1?x? (2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式． [审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解． 22 解 (1)令t＝＋1，则x＝， xt－1∴f(t)＝lg 22，即f(x)＝lg . t－1x－1 (2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得 21 f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 33 求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等． 【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式． 3 1 (2)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)． x解 (1)由题意可设f(x)＝ax＋bx(a≠0)，则 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1 ??2a＋b＝b＋1，11∴?解得a＝，b＝. 22?a＋b＝1，? 2 121 因此f(x)＝x＋x. 22 ?(2)由已知得? ?1?＋2f?x?＝2＋1，f??x?x 4＋x－2x 得f(x)＝. 3x 2 1 f?x?＋2f??＝2x＋1， ?x? 1 消去f??， ?x?考点三 分段函数 ??2，x≤1， 【例3】?（1）(2011·辽宁)设函数f(x)＝?则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )． ?1－log2x，x＞1，? 1－x A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集． ???x≤1，?x＞1， 解析 f(x)≤2??1－x或??0≤x≤1或x＞1，故选D. ?2≤2???1－log2x≤2 答案 D 分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中， 需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集． 【训练3】 (2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝?解析 分类讨论： (1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a， 3 解得a＝－，不符合题意，舍去． 2 (2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a， 由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a， 333 解得a＝－. 综合(1)，(2)知a的值为－. 答案 － 444 ??2x＋a，x＜1， ?－x－2a，x≥1.? 若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 4 二、函数的单调性与最值 A.基础梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意x∈I，都有条件 . f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最小值 自左向右图象是下降的 B.方法与要点 1.一个防范 1函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单 x调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 2.两种形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么 ①f?x1?－f?x2?f?x1?－f?x2?＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；＜0?f(x)在[a，b]上是减函数． x1－x2x1－x2②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是减函数． 5