若函数y＝f(x)满足下列条件，则函数具有的性质为： ①f(x)＝f(a－x) ，则y＝f(x)关于x＝
a2对称；
②f(x)＝f(a＋x) ，则y＝f(x)以 为周期；
③f(x)＝－f(a－x) ，则y＝f(x)关于点( )对称； ④f(x)＝－f(a＋x) ，则y＝f(x)以 为周期．
3．设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于 ( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称
D．直线x＝1对称
解析：作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法．
常规求解法：因为y＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(即直线x＝0)对称，因此，f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称，故选D.
特殊函数法：令f(x)＝x，则f(x－1)＝x－1，f(1－x)＝1－x，两者图象关于x＝1对称，故否定A、B、C，选D. 错误警示：因为函数是定义在实数集上且f(x－1)＝f(1－x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，B. 这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中有一结论：设函数y＝f(x)定义在实数集上，且f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然会得到一个错误的答案． 答案：D
C.双基自测
1．(人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lg
x＋3
的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )． 10
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析 y＝lg答案 C
2．(2011·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是
( )
110
A.?，b? B．(10a,1－b) C.?，b＋1? D．(a2,2b) ?a??a?
解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上． 答案 D
16
x＋3
＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 10
3．函数y＝1－
1
的图象是( )． x－1
解析 将y＝
－11
的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．答案 B xx－1
1
4．(2011·陕西)函数y＝x的图象是( )．
3
解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y＝x比较即可．
1111
由(－x)＝－x知函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，知只有B选项符合．
3333答案 B
5．（2010天津文数）（10）设函数g(x)?x2?2(x?R)，f(x)???g(x)?x?4,x?g(x)?g(x)?x,x?g(x)则f(x)的值域是
（A）????99??9?,0??(1,??) （B）[0,??) （C）[?,??)（D）??,0??(2,??)
44??4?【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
222???x?2?(x?4),x?x?2?x?x?2,x??1或x?2依题意f(x)??，f(x)??
222???x?2?x,x?x?2?x?x?2,?1?x?2
D.考点解析
考点一 作函数图象
【例1】?分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2
x＋2
x＋22
； (3)y＝x－2|x|－1； (4)y＝.
x－1
[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．
??lg x ?x≥1?，
解 (1)y＝?图象如图①.
?－lg x ?0＜x＜1?.?
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.
17
2??x－2x－1 ?x≥0?(3)y＝?2.图象如图③.
?x＋2x－1 ?x＜0??
x＋233(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，
x－1xx－1如图④.
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y
1
＝x＋的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简
x化作图过程．
【训练1】 作出下列函数的图象： (1)y＝2
x＋1
－1； (2)y＝sin|x|； (3)y＝|log2(x＋1)|.
解 (1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．
(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．
考点二 函数图象的识辨
【例2】?函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是
( )．
[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断． 解析 f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；
1?x
函数g(x)＝21－x＝2×??2?，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A，B，D.故选C. 答案 C
18
函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．
【训练2】 (2010·山东)函数y＝2－x的图象大致是( )．
x
2
解析 当x＞0时，2x＝x2有两根x＝2,4；当x＜0时，根据图象法易得到y＝2x与y＝x2有一个交点，则y＝2x－x2在R上有3个零点，故排除B、C；当x→－∞时，2→0.而x→＋∞，故y＝2－x＜0，故选A. 答案 A
x
2
x
2
考点三 函数图象的应用
【例3】?已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．
2
???x－2?－1， x∈?－∞，1]∪[3，＋∞?，
解 f(x)＝? 2
?－?x－2?＋1， x∈?1，3?，?
作出图象如图所示．
(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．
(2)由图象可知，y＝f(x)与y ＝m图象，有四个不同的交点，则0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}．
(1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、
最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法． 【训练3】
（2010湖南理数）用min{a,b}表示a，b两数中的最小值。若函数x=?
19
的图像关于直线
12对称，则t的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1
自我检测题
一、选择题
?1,x为有理数D(x)?1. (2012年高考福建卷理科7)设函数??0,x为无理数，则下列结论错误的是（ ）
A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
2．(2012年高考山东卷理科8)定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x)，当-3≤x＜-1时，
f(x)??(x?2)，当-1≤x＜3时，f(x)?x。则f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2012）=
2（A）335（B）338（C）1678（D）2012
20