对于离散型随机变量，把它列出下表更为直观：
? P(??xn) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn ... ... 显然，其中pn满足下列两个条件：
pn?0(n?1,2,...),???? （2.1.2）
pn?1??n?1?（4）、连续型随机变量及其密度函数； 定义2. 1. 3 若存在非负可积函数f(x)，任一区间(a,b)的概率为
?????f(x)dx??使随机变量?取值于
P{a???b}??f(x)dx， （2. 1. 16）
ab则称?为具有连续型分布或称?为连续型随机变量.f(x)称为?的分布密度函数，有时简称为分布密度或密度函数. （5）、大数定律与中心极限定理；
定义4. 4. 2 设?为一随机序列，数学期望{?n}存在，令E(?n)，若
lim[?n?E(?n)]?0， （4. 4. 3）
n??则称随机序列{?n}服从大数定律，或说大数法则成立.
定义4. 5. 2 设?n(n?1,2,3,...)为相互独立的随机变量序列，有有限的数学期望和方差：
E(?k)?ak,D(?k)??k2(k?1,2,...)
令
?B??D(?k),??k?1?(n?1,2,...), n??a?n??kk?Bn?k?1?2nn若对于z?R一致地有
1lim P{?n?z}?n??2??z??e1?y22dy （4. 5. 1）
则称随机序列{?n}服从中心极限定理.
三、概率论的应用
1、生日缘分
在平常的生活中，我们偶尔会遇到这样的巧合：某某与某某生日相同，他们被认为很有“缘分”，仔细想想我们能碰上这种“巧合”的机会是否真的难得呢？ 要解答这个问题，我们先从相反的情况着手：对于任意两人，他们生日不同
?365364365?364的概率是P(A)? （用A表示两人生日相同，A表示??2365365365?两人生日不相同），至于对任意三个人来说，碰不到这种“巧合”的概率为
365?36?4363 ，若有r个人在一起，其中却找不到两个人生日相同的概率为 3365365?364?...[365?(r?1)] .因此在r人当中，最少有两人生日相同的机会为r365p(A)?1?365?364?...[365?(r?1)] . r365有一半以上的机会碰到上述的“巧合”；若r=40，P(A)?0.51 ，
若令r=23，则
则P(A)?0.89 ，即差不多有九成的机会出现最少有两个人的生日相同的情况；若令r=55，则 P(A)?0.99 ，几乎必有两人的生日相同.或许遮掩的演算结果使我们感到有点意外，但倘若真的遇到生日相同的人，我们不妨也算是意外的缘分吧. 2、博彩
赌博，社会的一大毒瘤，利用我们所学的概率知识揭示赌博的欺诈性，帮助更多的人们认清赌博的罪恶本质.
例1：某广场一地摊上摆着一街头赌摊：一个摆地摊的赌主，他拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里.他规定，凡自愿摸彩者，需交1元手续费，
然后依次从袋中摸出5个棋子，摸到5个白子奖20元，摸到4个白子奖2元，摸到三个白子奖价值五角的纪念品，摸到其他则没有奖励.由于本钱小，许多围观者跃跃欲试，可获奖者确寥寥无几，这是为什么呢？那么我们能知道获得20元奖金的概率是多少？获得2元的概率是多少？假如按每天摸1000次计算，赌主一天可净挣多少呢？
解决这个问题我们不妨逐一计算顾客中奖的可能性.从16个棋子中摸出5个棋
55子共有C16 种可能情形：其中摸出5个棋子全为白子的情况有 C8 种，得20
C8541元钱的概率为5?0.0128 ；摸出5个棋子中有4个白子的情况有 C8C8 种，
C161C84C8得2元钱的概率为 ?0.1282 ；摸出5个棋子中有3个白子的情况有 5C1632CCC83C82 种，得纪念品的概率为 858? 0.3590 .
C16 现在有1000人模子，赌主支付的彩金是：约有13人获得20元，128人获
得2元，359人获得纪念品，共计695.5元，手续费1000元，故摊主赚300多元. 有上述一系列数据可看出，得奖者很少，最大受益人为摊主.希望更多人看清赌博本质！
例2：根据以下材料，分析中奖情况.
下表是2000年江苏省第二十五期体育彩票的中奖情况，请算出每个奖的中奖概率.
奖项 中奖号码 中奖人次 没人获奖 金额（元） 644557 96683 17849 300 20 5 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 334859（特别号3） 334859 33485x x34869 3348xx x3485x xx4859 334xxx x348xx xx485x xxx859 33xxxx x34xxx xx48xx Xxx85x xxxx59 3 8 65 1501 22133 244957 五等奖 说明：购买江苏体育彩票时，需选取一个六位数作为彩票号码，第一位可以
是0，数字也允许重复，如666666等，可以购买指定号码，也可以由电脑随机选号，购买数量不限（一个号码2元）.另外，选定六位数的号码后，还要在0，1，2，3，4这五个数种挑选一个所谓的“特别号”，一兑特等奖之用（每张彩票都不能重复得奖）.
解析：用 P表示中特等奖的概率，Pi 表示获i等将的概率（
A=1,2,3,4,5）.因为六位数共有 106 个，特别号有5种选择，故P= 10?6?15=2?10?7，即特等奖的中奖率为五百万分之一.
p1?10?6?45p2?8?10?7 p2?10?6?(9?9)?1.8?10?5
p63?10??(9?10?9?9?10?9)?2.61?10?4 p?64?10?(9?120?2?9?10?102?9?210?9)?3.?4 3210
p10?6?[9?(13?0?1)2?92?10?25?9?210?29?2(1?01)?39(1?0
从以上计算可知，中特等奖、一等奖和二等奖的概率极低，要想一夜之间成
为“巨富”简直比登天还难.因此，买彩票要有一颗平常心. 3、抽奖
抽奖，在生活中是常常碰到的事，那么抽奖的概率又是怎么样的呢？ 例1：推门得奖问题
在一著名的电视节目上，台上有三扇门A、B、C，分别其中只有一扇门后面有大奖.请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖.这个问题恐怕不难回答，因为我们知道，不论选择A、B还是C，我们得到大奖的概率都是三分之一.如果你选择了A，在门A被打开之前，主持人打开了另外两扇门中的一扇，比如说是B，发现门后什么都没有，问你现在是否改变决定，放弃A门而选择C门？这个问题恐怕就有些争议了.一部分人认为，我们无论选择A、B还是C，得到大奖的概率都是三分之一，所以选择A还是C无关紧要，所以完全可以不
9?)]?14
改变决定，坚持选 A.但另一部分认为，选择A 门，我们得到大奖的概率为三分之一，则 B 门和 C 门得到大奖的总概率为三分之二，当主持人打开 B 门后发现门后无奖，则三分之二的概率全部落在了 C 门上，此时我们当然要给本决定，放弃 A 门，改选 C 门.两种说法视乎都有些道理，那么我们到底应做怎么样的决定呢？首先应明确的一点是，在类似的电视节目中，主持人是应该知道到底那扇门后面有大奖的，否则可能出现尴尬的场面.这个问题就可以应用条件概率的知识来解决.
条件概率是概率论的重要的概念之一，主要表现在两个方面：第一，在实际问题中，常常是已知随机试验的部分信息，也就是说，除了样本空间外，还有事件发生了.利用这一新田间所求的概率为条件概率；第二，即使没有随机试验的信息可以利用，条件概率仍然可以比较容易地求出事件的概率.
对于本问题，我们先令A表示事件“A门后有奖”，
B表示事件“主持人打
开B门”， C表示事件“C门后有奖”.我们要求的概率分别是P(AB)和P(CB).由条件概率公式可得：
P(AB)?P(AB)P(CB)?P(CB)P(B)P(C)??P(A)P(BA)P(B)P(C)P(BC)P(B)
1经过简单分析即可得出P(A)?P(C)?，而P(B)表示主持人打开B门的
3概率，由于参与游戏者已经选择了A门，所以主持人只能打开B门或C门，即
P(B)?1.P(BA)表示在A门有奖的条件下主持人打开B门的概率，若A门有2奖，则B门和C门门后都没奖，则主持人可以任意打开一扇门，即
1P(BA)?P(CA)?，P(BC)表示在C门有奖的情况下主持人打开B门的
2概率，由于参与游戏者已经选择了A门，而主持人又知道C门后有奖，则主持人只能选择打开B门，即P(BC)?1.将求得的各个概率值分别代入