11?P(AB)和P(CB)的求解公式中，得到P(AB)?32121?1P(CB)?32? 3?13，
12即得到在主持人打开B门的条件下，选择A门得到大奖的概率是三分之一，选择C门得到大奖的概率是三分之二.于是我们得到结论，在这个游戏中，参与游戏者应该放弃A门而选择C门，这样等到大奖的概率就会高很多了. 4、比赛
概率可以证明比赛的公平性和计算比赛中几方获胜的概率. 例1：试用概率论的思想来证明“五局三胜”为公平比赛.
证明：根据题意即证明比赛五局，先胜三局为胜的比赛是公平的.把每局比赛看成一次试验，假设甲、乙两人水平相同，则他们在每一局获胜的概率都是
1，2设A?“甲先胜三局”，P(A)?C5()?C5()?C5()?3125412531251 2推广：比赛2n?1局，先胜n?1局者为优胜者的比赛制度也是一种公平的比赛.
例2：甲、乙两人比赛射击，每回射击胜者得一分，每回射击中甲胜的概率为?，乙胜的概率为?，甲先射，比赛进行到一人比对方多两分为止，多辆分者最终获胜.求甲最终获胜的概率.
解1：这是一个涉及到可列可加性的复杂事件的题目.按以上规则，不难分析在甲获胜时，比赛一定进行2n?1(n?0)次，最后两场一定是甲连胜，且对任何0?k?n?1，第2k?1，2k?2场一定是甲、乙各胜一场，共有2n种不同的可能.“甲最终获胜”这个时间包含样本空间里如下的序列：
甲甲，甲乙甲，甲乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲乙甲甲??，
用P(A)表示甲最终获胜的概率.那么“甲最终获胜”这个事件包含可列个
不同的基本事件，因此由可列可加性
?2P(A)??2(??)??
1?2??n?0?nn2 解2：仔细分析，甲获胜的条件可分为三种：“在第一：二回射击中，甲均获胜”，“在第一，二会射击中，乙均获胜”，“在第一，二回射击中，乙各胜一局”.在第三种条件下，甲乙胜局数可以抵消，等于又重新开始比赛了，所以概率就等于：
设A?“甲最终获胜”.B1?“在第一，二回射击中甲均获胜”，B2?“在第一，二回射击中，乙均获胜”，B3?“在第一，二回射击中，甲、乙各胜一局”.
p(A)?p(B1)p(AB1)?p(B2)p(AB2)?p(B3)P(AB3)??2?0?2??p(A)?2解这个方程，得到p(A)?
1?2??相对于第一种接法，这种方法思路清晰，计算也比较简单，这就是根据事件发生条件的不同而分解成两个或若干个互不相容的事件的并，分别计算每一部分的概率及条件概率，组后利用全概率公式计算出概率. 5、商品买卖与贮存
例1：张老师在水果批发市场上打算买几箱梨，他询问卖主所售梨的质量如何，卖主说一箱里（假设为100个）顶多有四、五个坏的.张老师随后挑了一箱，打开后随机抽取了10个梨，心想着10个中有不多于2个坏的就买，可他发现10个梨中有3个坏的.于是张老师对卖主说，你一箱梨里不止有五个坏的，卖主反驳说，我的话并没有错，也许这一箱梨中就这3个坏的，让你碰巧看见了.张老师的指责有道理么？
解析：假设一箱梨有100个.其中有5个是坏的.根据古典概率的定义，我们
73C95C5?0.00638；知道所抽取的10个中坏梨数等于3的概率为P(X?3)?类10C100似可求得坏梨数为4、5的概率分别为：
655C95C54C95C5P(X?4)?10?0.00025;P(X?5)?10?0.000003.
C100C100
故抽取10个中坏梨数大于2的概率
P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.006633
这表明，一次抽取10个，发现多于2个坏的概率很小，几乎不可能，现在居然发生了，说明张老师的指责是有道理的.
这个例题也说明了“先尝后买”中的数学道理，即抽样调查的方法，先尝后买在决定买不买比不尝就买的风险要小，但是风险依然存在.
例2：一家商店根据以往经验，平均每周只能售出1架钢琴.现在经理制定的存贮策略是：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售，否则，不订购.试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，每周的平均销售量是多少.
解：记第n周的需求量为Dn,由题意可知Dn服从均值为1的泊松分布，即
?1eP(Dn?k)?k! (k?0,1,2,???) （1）
记第n周初的库存量为Sn，Sn?{1,2,l}是这个系统的状态变量，由题意可知：状态转移规律为
?Sn?Dn,Dn?Sn （2） Sn?1???3,Dn?Sn由(1)式不难算出，P(Dn?0?)，0.36P(Dn?1)?0.368，
P(Dn?2)?0.184，P(Dn?3)?0.061，P(Dn?3)?0.019，由此计算状态
转移矩阵
?p11P??p21???p31p12p22p32p13?p23? ?p33??p11?p(Sn?1Sn?1)?P(Dn?0)?0.368， p12?p(Sn?1?3Sn?1)?0，
p13?p(Sn?1?1Sn?1)?P(Dn?1)?0.632， p21?p(Sn?1?2Sn?2)?P(Dn?0)?0.368
p22?p(Sn?1?2Sn?2)?P(Dn?0)?0.368 p23?p(Sn?1?3Sn?2)?P(Dn?2)?0.264 p31?p(Sn?1?1Sn?3)?P(Dn?2)?0.184 p32?p(Sn?1?2Sn?3)?P(Dn?1)?0.368
p33?p(Sn?1?3Sn?3)?P(Dn?0)?P(Dn?3)?0.448 00.632??0.368??得到P?0.3680.3680.246 ????0.1840.3680.448?? 记状态概率a1(n)?P(Sn?i)，i?1,2,3，a(n)?(a1(n),a2(n),a3(n))，因为状态转移具有无后效性，有a(n?1)?a(n)P.可知这是一个正则链，具有稳态概率分布?，且?满足：
??(?1,?2,?3)?(0.285,0.263,0.452)
该存贮策略（第n周）失去销售机会的概率为P(Dn?Sn)按照全概率公式 P(Dn?Sn)??P(Di?13n?iSn?i)(Sn?i)，
其中的条件概率P(Dn?iSn?i)容易有（1）式计算，当n充分大时，可以认为P(Sn?i)??i，i?1,2,3 最终得到
P(Dn?Sn)?0.264?0.285?0.080?0.263?0.019?0.425?0.105
即从长期看，失去销售机会的可能性大约为10%.
在计算该存贮策略（第n周）的平均销售量Rn时，应注意到，当需求超过存量时只能销售掉存量，于是
?i?1?Rn????jP(Dn?jSn?i)?iP(Dn?iSn?i)?P(Sn?i)
i?1?j?1?3 同样的，当n充分大时用稳态概率?i代替P(Sn?i)得到
Rn?0.632?0.285?0.896?0.263?0.997?0.452?0.857
即从长期看，每周的平均销售量为0.857架. 6、其他一些例子；
例1：有52张扑克牌平均分给四个人，如果某人断言这四个人在一次发牌中每人将得到13张同一花色的牌，认为这是正常的么？
解：将52张扑克牌平均分给四个人每人得到13张同一花色的牌的概率为：
1111P?4!?13?13?13?13?4.47?10?28
C52C52?13C52?2*13C52?3*13 这个数值是非常非常小的，换句话说，它的出现是一个小概率事件.现在某人竟然断言这样的小概率时间再一次发牌时就会出现，则自然认为这是不正常的，若这件事确实发生了，则我们有理由怀疑他在发牌是有作弊行为，比方说，他把牌事先排成他所知道的顺序.
例2：对“人多力量大”这句话用概率论的角度来思考.
解：这句话可以看成将一个试验独立重复的做了n次，设在每次试验中事件
A发生的概率为p(0?p?1)，求在n此试验中事件A至少发生一次的概率.
设B表示“n次试验中事件A至少发生一次”，则B表示“n次试验中事件
nA没有发生一次”，根据题意有P(B)?1?P(B)?1?(1?p)，于是有
limPB(?)lim[1??(1pn?)，此式表明当]n充分大时，事件A必然会发生.
n??n??通过上述的证明可以很清楚的了解到，人多力量大这句话也是有一定道理的.
例3：据统计，一年中一个万元以上的财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a(a?100)元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，求最大的赔偿值a.
解 设?表示保险公司在参加保险者身上的收益，则?取两个值??100和
??100?a，且P(??100)?0.99，P(??100?a)?0.01，保险公司获益
的期望值E??0.99?100?0.01?(100?a)?100?0.01a，要使保险公司获益