3
|x6?x*|?L1?L0.090639135 6 0.090524951 此时
|x6?x5|?0.00000720?12?10?4,故
x*?x6精确到三位小数.
0???2M4、给定函数f(x),设对一切x,f'(x)存在且0?m?f'(x)?M,证明对于范围内的任意定数?,迭代过程
xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x*.
证明 由于f'(x)?0,f(x)为单增函数,故方程f(x)?0的根x*是惟一的(假定方程有根
x*).迭代函数?(x)?x??f(x),|?'(x)|?|1??f'(x)|,.由0?m?f'(x)?M及
0???20??m??f'(x)??M?2,?1?1??M?M得,1??f'(x)?1??m?1,故
|?'(x)|?L?max{|1??m|,|1??M|}?1,由此可得
|xk?x*|?L|xk?1?x*|?...?L|x0?x*|?0(k??)k
即k??limk?x*.
?55、用斯蒂芬森迭代法计算第2题中(2)的近似根,精确到10.
1解 记第2题中(2)的迭代函数
?2(x)?(1?x)22?3(x)?1x?1,利用迭
,(3)的迭代函数为
代式(7.11),计算结果见表7-11. 表7-11 k 0 1 2 3
加速?（x）的结果xk2 k 0 1 2 3 4 加速?（x）的结果xk3 1.5 1.465558485 1.465571233 1.465571232 1.5 1.467342286 1.465576085 1.465571232 1.465571232
6、设?(x)?x?p(x)f(x)?q(x)f(x),试确定函数p(x)和q(x),使求解f(x)?0且以?(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.
2解 要求
xk?1??(xk)三阶收敛到f(x)?0的根x*,根据定理7.4,应有
?(x*)?x*,?'(x*)?0,?''(x*)?0.于是由
x*?x*?p(x*)f(x*?)q(x（*)f）x=*x*2?'(x*?)?1px(*f)x'(?*)0(f*)x?''(q*)x2f(x*?)[2 得
?''x(*?)?p2x'(f*)x'?(*p)x
'(*)]0p(x*)?1f'(x*),q(x*)?1f''(x*)3 故取
p(x)?2[f'(x*)]
1f'(x),q(x)?1f''(x)3
2[f'(x)]
即迭代至少三阶收敛.
3f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根.根的准确值x*?1.87938524...,7、用下列方法求
要求计算结果准确到四位有效数字.
(1)用牛顿法; (2)用弦截法,取
x0?2,x1?1.9;
.
2(3)用抛物线法,取
x0?1,x1?3,x2?22解 f(1)?0,f(2)?0,f(x)?3x?3?3(x?1)?0,f''(x)?6x?0,对?x?[1,2]. (1)取
x0?2,用牛顿迭代法
xk?3xk?13xk?323xk?1?xk??2xk?13(xk?1)23
12?10?3计算得
x1?1.888888889,x2?1.879451567,|x2?x*|?,故
x*?x2?1.879451567.
(2)取
x2?2,x1?1.9,利用弦截法
xk?1?xk?(xk?xk?1)f(xk)f(xk)?f(xk?1)
12?10?3得,
x2?1.981093936,x3?1.880840630,x4?1.879489903,|x4?x*|?,故取
x*?x4?1.879489903.
(3)
x0?1,x1?3,x2?2.抛物线法的迭代式为
2f(xk)xk?1?xk?w?sign(w)w?4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]2w?f[xk,xk?1]?f[xk,xk?1,xk?2](xk?xk?1)
已达四位有效数字.
迭代结果为:
x3?1.953967549,x4?1.87801539,x5?1.8793868668、分别用二分法和牛顿迭代法求x?tanx?0的最小正根.
tanx?x?13x?...?3x2k?1解 显然x*?0满足x?tanx?0.另外当|x|较小时,
x?(0,2k?1?...,故
?当
2时,tanx?x,因此,方程x?tanx?0的最小正根应在2)(?3?,2)内.
f(x)?x?tanx,x?(?3?2,2)记
,容易算得f(4)?2.842...?0,f(4.6)??4.26...?0,因此
[4,4.6]是f(x)?0的有限区间. 对于二分法,计算结果见表7-12. 表7-12 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ak bk xk f(xk)的符号 4.0 4.3 4.45 4.45 4.4875 4.4875 4.4875 4.4921875 4.4921875 4.493359375 4.6 4.6 4.6 4.525 4.525 4.50625 4.496875 4.496875 4.49453125 4.49453125 4.3 4.45 4.525 4.4875 4.50625 4.496875 4.4921875 4.49453125 4.493359375 4.493445313 + + - + - - + - + -
此时
|x9?x*|?1210?11024?10?3.
f'(x)??(tanx)?0,f''(x)??2tanx21cosx2?0若用牛顿迭代法求解,由于迭代计算结果如表7-13所示. 表7-13 ,故取
x0?4.6,
k 1 2 3 xk k 4 5 6 4.545732122 4.506145588 4.49417163 4.493412197 4.493409458 4.493409458 xk所以x?tanx?0的最小正根为x*?4.493409458. 9、研究求a的牛顿公式
xk?1?12(xk?axk),x0?0
证明对一切且序列是递减的.
xk?12(xk?1?axk?1)证法一 用数列的办法,因
xk?12(xk?1?axk?1)?2x0?0由知
xk?0,且
a,k?1,2,3,....又由
a?1,?k?1xk?1 故
xk?1?xkxk?12?2a
a.根据单调原理知,?xk?有极限.易证起极限为a.
a.对f(x)?x?,即kk?1单减有下界2?证法二 设f(x)?x?a(a?0).易知f(x)?0在[0,??)内有惟一实根x*?应用牛顿迭代法,得
xk?1?xk?f(xk)f'(xk)x0?a?12(xk??axk),k?0,1,2,...
利用例7-9的结论知,当时,
limx?a,且k??ka?x?时,kk?0单减有下界.当
x0?(0,a)
x1?12(x0??ax0)?12[x0?ax0]?2a?a
x1
?x?此时,从起,kk?1单减有下界10、对于f(x)?0的牛顿公式
Rk?a,且极限为a. f(xk)f'(xk)xk?1?xk?,证明
xk?xk?1(xk?1?xk?2)2
?f''(x*)
收敛到
2f'(x*),这里x*为f(x)?0的根.
证明见例7-10.
11、用牛顿迭代法和求重根的牛顿迭代法(7.15)和(7.16)(书中式(4.13),(4.14))计算方程
f(x)?(sinx?x2)?02?5的一个近似根,准确到10,初始值
x0??2.
f(x)?(sinx?x2)2解
的根x*为2重根,即
x2)(cosx?1)f'(x)?2(sinx?
用牛顿法迭代公式为
(sinxk?xk?1?xk?2(sinx?sinxk?xk?xkx2xk22
)2)(cosx?12?)
x0?2,k?0,1,3,...2cosxk?1
?2,则x1?1.785398,x2?1.844562,...,迭代到
?5令
x20?1.895494,|x*?1.89549|?10.
用求重根的迭代公式(7.15),迭代迭代公式为
sinxk?xk?1?xk?cosxk?xk2,k?0,1,2,...12
x0?
?2,则x1?2.000000,x2?1.900996,x3?1.895512,x4?1.895494,x5?1.895494.
取