第六讲 数轴—数形结合的桥梁
1．问题引入：
（1）小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？ （2）用“射线”能不能表示有理数？为什么？
（3）你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？
点拨：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．
与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下：
①.画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；
②.规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；
③.选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，?从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，? 2．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
提问：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？ 3.数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，缺一不可．
4. 有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.
点拨：数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。
5.比较大小（数轴）：数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。
结论：正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 6. 相反数：
几何定义：两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。
点拨：①. +5的相反数是－5；－5的相反数是5；a的相反数是－a.
②. 正数的相反数是一个负数；负数的相反数是一个正数；0的相反数是0 ③. 一个数的相反数的相反数是它本身.即－（－a）= a
7。绝对值：
几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“|a|” 8。结论：
（1）数轴上靠右边的点表示的数较大
（2）原点将数轴分为两个部分，右边的点表示正数，左边的点示负数。表示-1的点将左
边又分为两部分，互为倒数区间。同样的，表示1的点将右边也分为两部分，互为倒数区间。1或的-1的倒数为本身，0没有倒数。
9。举例
例1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处
的点表示的有理数是____________。
例2．一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的
数有是 例3．.借助数轴列式回答下列问题：
2的点表示的数是什么? 32. 2。与－3相距的点表示的数是什么?
31 3。.一个点A表示的数为－,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数是什
71 4.。两个点A,B分别表示的数为—1，,有一个点C到这两个点的距离相等,则点C
4 1。.与原点相距
示的数是什么?
例4．有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A.a>b B.－a>－b C.b >o D.a > o
例5．请指出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来并把它们用“<”连接起来.
11－4，3，+，0，－2
2210、练习：
1．一个数的相反数是它本身，则这个数是（ ）
A．正数 B．负数 C.0 D．没有这样的数 2．数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的（ ）
A．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对 3．如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（ ）
A．小于另一个数的相反数 B．大于另一个数的相反数 C．等于另一个数的相反数 D．大小不定 4.下面正确的是（ ）
A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线 B.离原点近的点所对应的有理数较小 C.数轴可以表示任意有理数 D.原点在数轴的正中间
5..关于相反数的叙述错误的是（ ） A.两数之和为0，则这两个数为相反数
B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数 C.符号相反的两个数，一定互为相反数 D.零的相反数为零
6..如果点A、B、C、D所对应的数为a、b、c、d，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A.a＜c＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.b＜d＜c＜a D.d＜b＜c＜a
7.下列图形中不是数轴的是（ ）
8..若数轴上A、B两点所对应的有理数分别为a、b，且B在A的右边，则a－b一定（ ）
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.无法确定
9.下列各式中正确的是（ ）
A.－3.14<－π B.－1>－1 C.3.5>－3.4 D.－<－2 10.下列说法错误的是（ ） A.零是最小的整数
B.有最大的负整数，没有最大的正整数
C.数轴上两点表示的数分别是－2与－2，那么－2在右边 D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来
11．如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的_ ___侧； 12．与原点的距离是5个单位长度的点有____ 个，它们分别表示的有理数是___和_______；
1?2?6?，那么到点100213121213。因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系4?和到点999距离相等的数是_____________；到点____________；
46,距离相等的点表示的数是5714。已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系5?9?4，那么点10和点?3.2之
间的距离是____________；
15。数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负
数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________；负数1+a的绝对值为________，正数–a+1的绝对值___________。 16。若|a+1|+|b-a|=0，求a，b