a40?10?3?12???b8.85?10??20?10?30?S22C0?0???3dd1?1000
?12
=3.54×10（F）=3.54pF
当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为
?x101?C?C0?C0??3.54?1.77?pF?a/240/22 ?0b?x8.85?10?12?20?10?3?1?10?3?C??d01?10?3?1.77?10?12(F)?1.77pF或，
则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0??C，由双T二极管网络知其输出电压 USC = 2 k Ui fΔC
R?R?2Rf??2RfUif?C2?R?Rf??2104104?2?106 ?2.55?V?
8、一只电容位移传感器如习题4-7图所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。
?10?4?2?106?2??106?36?106?1.77?10?12习题图4-7
解：参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。 当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对，此时 CAB=CBC=ε0ab/d， 则
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d； CAD=ε0ab/(2d+t)。
当动极板向右移a/2时，与上相仿，有
CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d
9、已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2x2)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。 解：初始电容
?S?0S8.85?10?12?2?2?10?4C0???d0d00.1?10?3 -12 =35.4×10(F) =35.4pF 当装配不平衡时可取其平均间隙
d?(d0?b)bd?0?d0?22
=0.1+0.01/2=0.105(mm)
则其电容为
8.85?10?12?2?2?10?4C??d0.105?10?3 -12
=33.7×10(F)=33.7pF
第5章 压电式传感器
一、选择、填空题
1、压电元件的基本原理是 。目前常用的压电材料有 ， 等。 2、为消除压电传感器电缆分布电容变化对输出灵敏度的影响，可采用 ( )。 A 电压放大器； B 电荷放大器； C 前置放大器 ；D 电流放大器
3、对压电效应的描述正确的是 （ ）
A 当晶体沿一定方向伸长或压缩时在其表面会产生电荷 B 当陶瓷沿一定方向伸长或压缩时在其表面会产生电荷
C 当某些晶体或陶瓷在外电场的作用下发生形变，这种现象叫压电效应
D 晶体的压电效应是一种机电耦合效应，是由力学量（应力、应变）与电学量（电场强度、
电位移失量）之间相互耦合产生的。
二、计算分析题
1、为什么压电式传感器不能用于静态测量，只能用于动态测量中？而且是频率越高越好？
?0S
2、什么是压电效应？试比较石英晶体和压电陶瓷的压电效应
3、设计压电式传感器检测电路的基本考虑点是什么，为什么?
4、有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力P=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压：
(1)零度X切的纵向石英晶体； (2)利用纵向效应的BaTiO3。 解：由题意知，压电晶体受力为
F=PS=10×106×20×10-6=200(N)
（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10?12C/N 等效电容
8.85?10?12?4.5?20?10?6Ca??d10?10?3
?14
=7.97×10 (F) 受力F产生电荷
Q=d11F=2.31×10?12×200=462×10?2(C)=462pC
输出电压
?0?rSQ462?10?12Ua???5.796?103?V??14Ca7.97?10
?12
（2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10C/N 等效电容
8.85?10?12?1900?20?10?6Ca??d10?10?3 -12
=33.6×10(F)=33.6(pF) 受力F产生电荷
Q=d33F=191×10?12×200=38200×10?12 (C)=3.82×10?8C
输出电压
?0?rSQ3.82?10?8Ua???1.137?103?V??12Ca33.6?10
5、某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求：
(1)压电晶体的电压灵敏度足Ku； (2)测量系统的高频响应；
(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?
(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大?
2.5C/cmKu?Kq/Ca??2.5?109V/cm1000pF 解：（1）
（2）高频（ω→∞）时，其响应
Ku??kqUamd33??FmCa?Cc?CiCa?Cc?Ci
2.5C/cm?12 ?1000?3000?50??10F
（3）系统的谐振频率
11?n???R?Ca?Cc?Ci?
1??247?rads?6?12 1?10?1000?3000?50??10
U?/?nK????im?2Uam??1??/?n由 ，得
?/?n???1??5!???/?n?（取等号计算）
22?? ???????0.90251??/?nn
2???0.9025?0.9025??n
?6.17?108V/cm解出 (ω/ωn)2=9.2564→ω/ωn=3.0424
ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s) f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)
（4）由上面知，当?≤5%时，ω/ωn=3.0424
当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时 ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)
又由ωn=1/RC，则
C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84?104pF
6、分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。
总
解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意
1???1?2"221???/?n??4???/?n?（取等号计算）
??2?1/1.02 n则
1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2 +4×0.52(ω/ωn)2=0.96 (ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0
解出 (ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去） 所以 ω/ωn =0.205 或?0.205（舍去） ?=0.205?n 则 fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)
压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性
?/?n??K?????221???/?n?1?????
?1???/????4?22??/?n?2??由题意得
??1?????2?1??2% （取等号计算）
(??) =0.9604+0.9604 (??)2 (??)2 =24.25 ??=4.924 ω=4.924/τ
fL =ω/2π=4.924/(2??)=4.924/(2?RC)=4.924/(2?×5×108×10?9 )
=1.57(Hz)
其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz
7、石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求：
(1)两极板间电压峰—峰值； (2)晶体厚度的最大变化。 解：（1）石英压电晶片的电容
?0?rS8.85?10?12?5.1?100?10?6Ca??d1?10?3 -?12
=4.514 ×10 (F) ≈4.5pF
由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω
则总电阻 R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω 总电容 C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF) 又因 F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N kq =2 pC/N
则电荷 Q=d11 F= kq F
Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC
所以
1??103?108?24.5?10?12?
=0.756×10?3 (V)=0.756mV 峰—峰值： Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV
1???RC?22???0.981?????2
2
Uim?d11Fm?R?0.02?10?12?103?108 （2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×10?6×9×1010 )=1.11×10?9 =Δdm /d Δdm =d?m =1×1.11×10?9 (mm)=1.11×10?9 mm 厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）
Δd =2Δdm =2×1.11×10?9 =2.22×10?9 (mm)
=2.22×10?12 m
8、为什么压电式传感器不能用于静态测量，只能用于动态测量中？用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度) 解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度
K=Kq?Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a
式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。
则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为
a=Uo/K=2×103/250=8(g)
5-8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在1Hz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大? 解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为
?/?n???1??5!???/?n?，（取等号计算）
(ω/ωn) =0.9025+0.9025 (ω/ωn)2
ω/ωn =3.04
τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC
所以
R=τ/C=0.484/(500×10?12) =9.68×108?=968M?
9、 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。
解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为
?/?n?0.951???/?n?2
2
1?2???n?????n??4?0.12???n??0.907242?1???/????4???/??
?1???/????4???/???1/1.05 （取等号）
2222nn2222nn??1?1?5%(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0
解出 (ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去） 则 ω/ωn≈0.22 ωH =0.22ωn 则 fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)
10、 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。
解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷
Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC
输出电压为
Ua =Q/Ca =112×10?12 /(1×10?9)=0.112(V)
11、一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)—100mV；(2)10V；(3)—75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。