概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.? （1） 掷一颗骰子，出现奇数点.? （2） 掷二颗骰子，?
? A?=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”? ? B?=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次，? ? A=“第一次出现正面.”?
B=“至少有一次出现正面.”? C=“两次出现同一面.” 【解】（）1???12，，3，4，5，6?，A??13，，；5?
(2)???(i,j)|i,j?1,2,?,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：? （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；? （3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；? （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；?
（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.? 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
1
(5) ABC=A?B?C (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由: (1) A∪B=(AB)∪B； (2) AB=A∪B； (3) A?B∩C=ABC； (4) (AB)( AB)= ?；
(5) 若A?B，则A=AB；
(6) 若AB=?，且C?A，则BC=?； (7) 若A?B，则B?A；
(8) 若B?A,则A∪B=A.
【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.
所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生. 故不成立.
(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生， 所以AB不发生，从而不成立. (3)不成立.A?B，AB画文氏图如下:
所以,若Α-B发生,则AB发生, A?B不发生, 故不成立.
(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.
(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生. 若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生. 故成立.
(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生, 故BC=φ.
(7)不成立.画文氏图,可知B?A.
2
(8)成立.若事件Α发生,由A?(A?B),则事件Α∪B发生. 若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生. 若事件Α发生,则成立.
若事件B发生,由B?A,则事件Α发生.
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.? 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？? 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
?P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
11113++?= 4431247.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率
是多少？
5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352
8.?对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=
115
=（）（亦可用独立性求解，下同） 757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?P(A1)=1?(
15
)7
9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.
3
3【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从2145个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次
21C45C5P?3.
C50品的取法为CC24515种,所以所求概率为
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2） n件是无放回逐件取出的；? （3） n件是有放回逐件取出的.? n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种， 故 mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP（A）= CnN可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 mn?mn P(A)?CmM(N?M)/Nn此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??N??N?? mn?m 4 11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，?，9). 【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列 444问题.用10个数去排4个位置,有P10种排法,故所求概率为P?P10/10. 12.? 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太 弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C110C3/C50?1 196013.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131224?2 ?【解】（1） p1?C5()() (2) p2?222325/325*16.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 212P(?AiBi)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?03 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) 222233 5