37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1?(3) p1??13!(n?3)!(2) p2?,n?3 n?1(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率?
【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
0
a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a?2?如图阴影部分所示，故所求概率为p?1. 439.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.
证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.
Pnk??111【证】p?k?,k?1,2,?,n
Pnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.? 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的
小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.
10001000P(A0)?41.对任意的随机事件A，B，C，试证?
11
P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).?
【证】P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC)
42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，
C33!3每个杯中最多放一球，故P(A1)?43?
48C114? 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故P(A3)?341621C131994C3C3?或 P(A2)??因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1??
816164316 43.?将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，
C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以
P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
11n1n1nnP(C)?C2()()P(A)?[1?C 故n2n2n]
222244.?掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知
P（A）=P（B）
（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）
=0.5
n112()n] (2) 当n为偶数时，由上题知P(A)?[1?Cn2245.?设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有
=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反） （甲正>乙正）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=
1 246.?证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）
12
≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
P(AC)P(BC)?,
P(C)P(C)即有P(AC)?P(BC)同理由 P(A|C) ),?P(B|C得 P(AC)?P(BC), 故P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少
有一个旅客的概率.?
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则
(n?1)k1kP(Ai)??(1?)knn2P(AiAj)?(1?)k n?n?1kP(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?)n其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是
11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?n?Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?1n1?i1?i2??in?1?nn?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n
1k2kn?1k2nn?1)
nnnn1k2in?1k12n?1n?1) 故所求概率为1?P(?Ai)?1?Cn(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?i?1nnn ?Cn(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?148.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独
立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.? 【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1?(1??)?1(n??)
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，
将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
n 13
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn,P(B)? m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1
2则由贝叶斯公式知
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1?rmm?n2 ? ?rm1n?r??1m?2nm?n2m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用
火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？? 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?1. 2（1） 发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），
n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为
1n1n?r11p1?2Cn??Cn 2n?r()()n?r2r?r2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1盒，故概率为
1n?11n?r112n?r?1n?1n?1p2?2C2()()?C() n?r?12n?r?1222251.求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
0n1n?122n?2n0(q?p)n?C0?Cnpq???Cnnpq?Cnpqnpq?1 0n1n?12n?2n0(q?p)n?C0?C2???(?1)nCnnpq?Cnpqnpqnpq
以上两式相减得所求概率为
n?133n?3p1?C1pq?C?? nnpq11?[1?(q?p)n]?[1?(1?2p)n] 22若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
1p2?[1?(1?2p)n].
252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值.
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【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB （A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB 所求(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?[(AB?AB)?(AB?AB)]?? 故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：?
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A
不发生的概率相等，求P（A）. 【解】P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1 ①P(AB)?P(AB) ② 9)?故 P(A)?P(ABP(B?)P(A故B )P(A)?P(B) ③
由A,B的独立性，及①、③式有
1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?1?2P(A)?[P(A)]2?[1?P(A)]2 91242故1?P(A)??故 P(A)?或P(A)?（舍去）即P（A）=.
333355.随机地向半圆0 2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 1π212πa2.阴影部分面积为a?a 242区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？? 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 π212a?a42?1?1 故所求概率为p?122ππa256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} C242C10P(AB)1 P(B|A)???2C6P(A)51-2C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.? （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；? 15 （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. 则P(Ai)?1375,i?1,2,3P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)? 3101525(1) p?P(B1)?137529 P(A)P(B|A)?(??)??i1i310152590i?13(2) q?P(B1|B2)?3P(B1B2) P(B2)而P(B2)?1782061?(??)? P(A)P(B|A)2?ii310152590i?13137785202P(B1B2)??P(Ai)P(B1B2|Ai)?(?????)? 3109151425249i?12P(B1B2)920故 q? ??6161P(B2)9058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) )?【解】因为 P(A?BP(A)?P(B?)P(A BP(AB)?P(B)?P(AB)?P(B) 所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A). 59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0 恰好第2次命中目标的概率. 【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为 1P?C3P(1?P)2?P?3P2(1?P)2. 60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于【解】设两个数分别为x、y，则0 1的概率. 21，画出21111?2???222?3. 图形，由几何概型可得，所求概率为P?14 16