规范练?三? 概率与统计
1．一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．
(1)写出所有可能的结果，并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率； (2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形，求出能构成三角形的概率．
解 (1)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20个． 设事件A＝“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”，
则事件A包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8个． 82所以P(A)＝20＝5.
(2)剩下的三边长包含的基本事件为：
(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个；
设事件B＝“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形”
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则事件B包含的基本事件有：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)共3个，所以P(B)＝10. 2．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第三、四、五组的频率；
(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的2个产品均来自第三组的概率．
解 (1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1.
(2)设“抽到的2个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个、2个、1个．
不妨设第三组抽到的是A1、A2、A3；第四组抽到的是B1、B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}，共15个，事件A包含的基本事件有3个，所31以P(A)＝15＝5.
3．已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样．
(1)若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；
(2)分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．
解 (1)由题意，得抽出号码为22的组数为3.因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02,12,22,32,42,52,62,72,82,92. (2)这10名学生的平均成绩为：
1
x＝10×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，故样本方差为：1
s2＝10×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.
(3)从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：
(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
其中成绩之和不小于154分的有如下7种：(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
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故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：P＝10. 4．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到2×2列联表如下：
有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 (1)补全2×2列联表； (2)你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
(3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率． n?ad－bc?2
参考公式与临界值表：K＝ ?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
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室外工作 室内工作 150 200 100 合计
P(K2≥k0) k0 解 (1)列联表如下 有呼吸系统疾病 室外工作 150 室内工作 200 合计 350 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828
无呼吸系统疾病 合计 2
50 200 100 300 150 500 500×?150×100－200×50?2(2)计算得，K＝≈3.968>3.841，所以有95%的把握
350×150×200×300认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关．
(3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽2人，记为E、F，从中抽两人，共有15种抽法，A＝“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有6种，2∴P(A)＝5.