小学奥数
分数应用题之工程问题
教学目标 工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。 1. 2. 3.
工程问题的基本数量关系与一般解法； 工程问题中的常见解题方法；
工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。
经典精讲 工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。
1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，
表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，
和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。
有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。
基本题型
【例1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲
继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天?
【分析】
1441?16?，还有1??，是乙做的，乙干了了20555111??116??1??16???16?6?10（天），休息了16?6?10（天），请假天数为：。 ??6（天）
530?20?30114（法二）假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成(?)?16?，
203034111超过单位“1”的?1?，则乙请假?。 ?10（天）
33330（法一）甲一共干了16天，完成了
【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单
独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
112，甲的工作量：?8?，
205202331 乙的工作量：1??，乙的工作效率：?15?，
55525 所以乙单独完成这项工作需25天。 【分析】甲的工作效率：
【例2】 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在
A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
【分析】
111（1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：2?(??)?8小时。
1012151??1（2）丙帮助甲搬运了?1??8???3小时。
?10?15（3）丙帮乙搬运了8?3?5小时。
【拓展】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加
1，如果让甲、4乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？
1??111?????18天， 【分析】三队合做完成二项工程所用的天数?1?1?????4??202430???11?1?15天。 丙帮乙队做的天数：?1???18???424?30
技巧与方法
一、
代换法
小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？
【分析】
根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6
【例3】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6
小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一
111池水。可以计算出乙单独灌水的工作量为1??2??2?，所以乙的工作效率为
5410111，所以整池水由乙管单独灌水，则需要1?。 ?(6?2?2)??20（小时）
102020
【巩固】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，
还要几天才能完成？
【分析】（法一）两队合做2天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做
4161610的部分相当于甲做的4天，所以乙做了4??天，除去与甲合作的2天，以还要做?2?3333天。
111（法二）甲的工作效率为，所以乙的工作效率为?3?4?。两队合作2天后乙队独做还
6681?1?110要?1??2??2???天才能完成。
6883??
【例4】 一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比
是2:3。如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？
【分析】
根据甲、乙工效比是2:3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3:2，
2也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的。由“甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样
32才完成工程的一半”可知，甲一共做了2?7?9天，把甲9天做的工作量给乙做，乙要9??632??天。完成工程的一半乙要用6+7=13天。所以这项工作由乙单独来做需要??2?7???7??2?263??天。
【例5】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8
天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
【分析】
本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换
1可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是。又因为乙工作4天的
244141工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，??，甲、乙合作这
524530111一工程需用的时间为1?(?)?13 (天)。
24303
【例6】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替
甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，??，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
【分析】
①若甲、乙两人合作共需多少小时？
1?51?11?????1??7（小时）。
365?1218?②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1?351?11?7?????1??。
12183636??1③余下的由甲独做需要多少小时？
36111??（小时）。 3612311④共用了多少小时？7?2??14（小时）。
33注：在工程问题中，转换条件是常用手法。“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。
【例7】 某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这
项工作。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？
【分析】
1111 ，交换工人A和B后效率减少，交换工人C和D后效率??101011110111111101增加??，同时交换工人A和B，C和D后效率变为，所需时间???10110909909109010181为：1?。 ?9990101最初的效率为
二、
比例法
【例8】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、
乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？
【分析】
根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合
做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时
3间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：(3?2)?， ?15（天）
3?21??1甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需1?????6（天）。
?1015?注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。
【例9】 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫
需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？
【分析】
11（法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：1?(?)?6小时。
10151312⑵甲清扫全长的?6?，乙清扫了全部的?6?。
105155?32?⑶东西两城相距12?????60千米。
?55?（法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是甲行了全程的
11:?3:2，101533?32?，乙行了全程的，全程就是12?????60千米。 3?23?2?55?