复变函数与积分变换辅导资料九
主 题：第四章 解析函数的级数1—2节 学习时间：2012年11月26日－12月2日 内 容：
在高等数学中，级数是研究函数的重要工具。同样，在复变函数中，级数仍然是研究复变函数的重要手段。
本周首先介绍复数项级数的概念，再研究幂级数的收敛域及其和函数。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、知道复数列收敛的概念
2、了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念 3、会判断复数项级数的收敛性 4、理解幂级数收敛的概念及性质
5、非常熟练地掌握幂级数的收敛半径的求法 基本概念：复数列、复数项级数及其收敛、幂级数
知识点：复数项级数的收敛性、幂级数的收敛、运算及性质
第一节、复数项级数 （要求达到“识记”层次）
1、复数列极限
定义：设{zn}(n?1,2,?)为一复数列，其中zn?xn?iyn，又设z0?x0?iy0为确定的复数，如果对任意??0，存在自然数N，当n?N时，总有|zn?z0|??成立，则称复数列{zn}收敛于z0，或称当n??时，{zn}以z0为极限，记作
limzn?z0。如果复数列{zn}不收敛，则称{zn}发散。
n??定理：设zn?xn?iyn(n?1,2,?)，z0?x0?iy0，则称数列{zn}收敛于z0的充分必要条件是limxn?x0,limyn?y0。
n??n??典型例题：
例、判断复数列zn?解：zn?1?n1?n1?ni1?ni221?ni1?ni是否收敛，若收敛求出它的极限。
2?(1?ni)(1?ni)(1?ni)?1?n1?n22?i2n1?n2
xn?,yn?2n1?n2
而limxn??1,limyn?0
n??n??第1页 共6页
因此limzn??1
n??2、复数项级数
定义1：设{zn}(n?1,2,?)为一复数列，表达式z1?z2???zn??称为复数项级数，记作?zn，其最前面n项的和Sn?z1?z2???zn，称为级数的部分和。
n?1??n??????如果部分和数列{Sn}有极限，即limSn?S，则称级数?zn收敛，?zn的
n?1n?1????和是S，或者说?zn收敛于S；如果部分和数列{Sn}没有极限，则称级数?zn发
n?1n?1散。
典型例题：
例、当|z|?1时，判断级数1?z?z2???zn??是否收敛？ 解：部分和Sn?1?z?z???z?2n1?zn1?z?11?z?zn1?z
当|z|?1时，有lim|z|n?0
n???从而有lim|n???zn1?z1|?0?limznn??1?z?0
所以limSn?n???1?z
11?z这就是说，当|z|?1时，级数1?z?z2???zn??收敛，其和为即当|z|?1时，1?z?z2???zn?????
11?z?
?定理1：级数?zn收敛的充要条件是级数?xn与?yn都收敛
n?1n?1n?1??定理2：复数项级数?zn收敛的必要条件是limzn?0
n?1n??????定义2：若级数?|zn|收敛，则称级数?zn绝对收敛；若级数?zn收敛，
n?1n?1n?1??而?|zn|发散，则称级数?zn条件收敛。（学会判断各复数项级数的收敛性）
n?1n?1第2页 共6页
定理3：若级数?|zn|收敛，则级数?zn必收敛，且有不等式|?zn|?n?1n?1n?1?????|zn?1n|成立。
典型例题：
?例、判别复数项级数?n?1?inni3的敛散性
14i51214n解：因为?n?1inn?i?12??????(???16??)?i(1?13?15??)
???n?1(?1)2n??i?n?1(?1)n?12n?1
?级数?n?1?(?1)2nnn?与?n?1?(?1)n?1?2n?1都收敛，所以级数?n?1?inn收敛
而?|n?1in|??n?11n发散，所以级数?n?1inn条件收敛
第二节、幂级数
（要求达到“领会”层次）
1、幂级数的概念
设{fn(z)}(n?1,2,?)为一复变函数列，其中各项在区域D内有定义，表达式
??n?1fn(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)??称为这级数的部分和。
如果对于D内的某一点z0，极限limSn(z0)?S(z0)存在，那么称复变函数
n???项级数在z0收敛，而S(z0)称为它的和，如果级数在D内出处收敛，那么它的和一定是z的一个函数S(z)，S(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)??，S(z)称为级数
??n?1fn(z)的和函数。
当fn(z)?Cn?1(z?a)n?1或fn(z)?Cn?1zn?1时就得到复变函数项级数的特殊情
?形?Cn(z?a)n?C0?C1(z?a)???Cn(z?a)n??
n?0第3页 共6页
或?Cnzn?C0?C1z?C2z2??Cnzn??，这种级数称为幂级数。
n?0?2、收敛圆与收敛半径
定义：若存在一个正数R，使幂级数?Cnzn在|z|?R内处处收敛，而在
n?0?|z|?R内处处发散，则称|z|?R为收敛圆，称R为收敛半径。
3、收敛半径的求法
?定理：设幂级数?Cnzn若下列条件之一成立：
n?01、lim|n???Cn?1Cn|???0（比值法）（Cn全不为零）（此方法要重点掌握）
2、limn???|Cn|???0?（根值法）
1则幂级数?Cnzn的收敛半径R?n?0?
典型例题：
?n?n?1?例、选择题：设幂级数?cnz,?ncnzn?0n?0和?n?0cnn?1zn?1的收敛半径分别为
R1,R2,R3，则R1,R2,R3之间的关系是（ ）
A、R1?R2?R3 C、R1?R2?R3 答案：D
?B、R1?R2?R3 D、R1?R2?R3
解题思路：幂级数?cnzn中lim|n?0Cn?1Cnn???|?R1
?幂级数?ncnzn?1中lim|n?0(n?1)Cn?1nCnn???|?lim|n???(n?1)Cn?1nCn(n?1)n(n?1)n
Cn?1Cn?lim|n???|?lim|n???|
?lim|n???|?R1?1?R1?R2
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幂级数?n?0?cnn?1zn?1中lim|n???nCn?1(n?1)Cn|?lim|n???n(n?1)|?lim|n???Cn?1Cn|
?lim|n???n(n?1)|?R1?1?R1?R3
4、幂级数的运算和性质 （1）有理数运算
??n设有两个幂级数f(z)??an?0z,|z|?R1，g(z)?n?bn?0nz,|z|?R2n，
令R?min{R1,R2}，则在|z|?R内，这两个幂级数可进行如下的四则运算：
①加、减法
?f(z)?g(z)??n?0(an?bn)z,|z|?Rn
②乘法
?f(z)?g(z)??(an?0nb0?an?1b1???a0bn)z,|z|?Rn
③除法
f(z)g(z)?a0?a1z???anz??b0?b1z???bnz??nn?c0?c1z???cnz??n
其中，假设b0?0，系数c0,c1,c2?,cn,?可由比较z的同次幂的系数决定。值得注意的是，相除后所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径都小。
如f(z)?1与g(z)?1?z的收敛半径均为?? 而它们的商
f(z)g(z)?11?z?1?z?z???z2n?1??的收敛半径R?1。
（2）复合运算
?当|z|?r时，f(z)???cn?0nzn，在|z|?R时，g(z)解析且|g(z)|?r，那么当
|z|?R时，f[g(z)]??cn?0n[g(z)]n。
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典型例题：
例、把函数f(z)?解：把函数f(z)?f(z)?13z?2?13z?213z?2表成形如?cn(z?2)n的幂级数
n?0?变形，使之成为(z?2)的形式：
?14?1?1?34n13(z?2)?4?1(z?2)n3nn(?1)()(z?2) ?4n?04???34?(?1)n?034nn(z?2) n?143由等比级数知|z?2|?1，即|z?2|?
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