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2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合A?{x||x|?2}，B?{?1,0,1,2,3}，则A（A）{0,1} （C）{?1,0,1}
B?
（B）{0,1,2} （D）{?1,0,1,2}
?2x?y≤0,?（2）若x,y满足?x?y≤3, 则2x?y的最大值为
?x≥0,?（A）0 （C）4
（B）3 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
输入a 开始 k?0,b?a ?11?aa?k?k?1 a?b 是 输出k 结束 否 数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 12 页）
（4）设a,b是向量．则“|a|?|b|”是“|a?b|?|a?b|”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（5）已知x,y?R，且x?y?0，则
（A）
11??0 xyxy（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（B）sinx?siny?0
?1??1?（C）??????0
?2??2?（D）lnx?lny?0
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）
1 6正（主）视图 1 1 1 1 侧（左）视图
1（B）
31（C）
2（D）1
俯视图 ππ（7）将函数y?sin(2x?)图象上的点P(,t)向左平移s(s?0)个单位长度得到点P?．若P?位
34于函数y?sin2x的图象上，则 （A）t?1π，s的最小值为 261π，s的最小值为 23（B）t?3π，s的最小值为 263π，s的最小值为 23（C）t?（D）t?（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任
意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球
（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
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第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）设a?R．若复数(1?i)(a?i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a? ． （10）在(1?2x)6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）
（11）在极坐标系中，直线?cos??3?sin??1?0与圆??2cos?交于A,B两点，则
|AB|? ．
（12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1?6，a3?a5?0，则S6? ． x2y2（13）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线，
ab点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a? ．
3??x?3x,x≤a,（14）设函数f(x)??
x?a.???2x,① 若a?0，则f(x)的最大值为 ；
② 若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 ．
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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
在△ABC中，a2?c2?b2?2ac． （Ⅰ）求?B的大小；
（Ⅱ）求2cosA?cosC的最大值．
（16）（本小题13分）
A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分
学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
A班 B班 6 6 3 6.5 7 8 6 7.5 8 10 9 11 12 12 7 4.5 9 7.5 C班 10.5 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记
为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单
位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为?1，表格中数据的平均数记为?0，试判断?0和?1的大小．（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD?平面ABCD，PA?PD，PA?PD，AB?AD，
AB?1，AD?2，AC?CD?5．
（Ⅰ）求证：PD?平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？
D
PABAM若存在，求的值；若不存在，说明理由．
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（18）（本小题13分）
设函数f(x)?xea?x?bx，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?(e?1)x?4． （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．
（19）（本小题14分）
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为3，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，△OAB的
2ab面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．
求证：|AN|?|BM|为定值．
（20）（本小题13分）
设数列A:a1,a2,,aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak?an，
则称n是数列A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列A:?2,2,?1,1,3，写出G(A)的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an?a1，则G(A)??；
（Ⅲ）证明：若数列A满足an?an?1≤1(n?2,3,,N)，则G(A)的元素个数不小于aN?a1．
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