平面解析几何
一、选择题和填空题
1．（海淀·理科·题13）
已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1?10，双曲线的离心率的取值范围为?1,2?．则该椭圆的离心率的取值范围是 ． ?12?【解析】 ?,?；
?35?yPF1OF2x
如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为a1,c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2,c，PF1?m,PF2?n，则
?m?n?2a1??a1?5?ccc?m?n?2a2，问题转化为已知1?的取值范围． ??2，求??a?5?cm?105?c5?c?2???n?2cc5xcx11设，． ?x，则c????5?c1?x5?c2x?124x?21111111112∵1?x?2，∴?????，即???．
2624x?2210324x?25
2．（海淀·文科·题8）
直线2ax?by?1与圆x2?y2?1相交于A，B两点（其中a,b是实数），且?AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P?a,b?与点?0,1?之间距离的最大值为（ ） A．2?1 B．2 C．2 D．2?1 【解析】 A；
圆x2?y2?1的圆心到直线2ax?by?1的距离为12a2?b2?2，∴2a2?b2?2， 2b2即a??1．
22b2因此所求距离为椭圆a??1上点P?a,b?到焦点?0,1?的距离，其最大值为2?1．
22 3．（海淀·文科·题10）
已知动点P到定点?2,0?的距离和它到定直线l:x??2的距离相等，则点P的轨迹方程为________． 【解析】 y2?8x；
由已知，该轨迹为p?2，定点为?0,0?，对称轴为x轴的抛物线，即y2?8x．
4．（丰台·文科·题4）
直线x?y?2?0截圆x2?y2?4所得劣弧所对圆心角为（ ）
πππ2π B． C． D． 6323【解析】 D； A．
弦心距为0?0?212?12?1，圆的半径为4?2，于是cos?2?12π，??． 23
5．（丰台·文科·题14）
已知点A?1,?1?，点B?3,5?，点P是直线y?x上动点，当|PA|?|PB|的值最小时，点P的坐标
yBy = xQPOxA是 ．【解析】 ?2,2?；
连结AB与直线y?x交于点Q，则当P点移动到Q点位置时，|PA|?|PB|的值最小．
?x?3?，即3x?y?4?0． 3?1?3x?y?4?0?x?2解方程组?，得?．
y?xy?2??于是当|PA|?|PB|的值最小时，点P的坐标为?2,2?．
直线AB的方程为y?5? 6．（石景山·理·题5）（石景山·文·题5）
经过点P(2,?3)作圆(x?1)2?y2?25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x?y?5?0 C．x?y?5?0 【解析】 A；
设圆心为C，则AB垂直于CP，kCP? 7．（西城·理·题13）（西城·文·题7）
?3?0??1，故AB:y?3?x?2，选A．
2?(?1)5???1? B．x?y?5?0 D．x?y?5?0
?????????y2AF已知双曲线x??1的左顶点为1，右焦点为2，P为双曲线右支上一点，则PA1?PF2最小值为
32
_________ ． 【解析】 ?2；
?????????1)，PA1?PF2?(?1?x,y)?(2?x,y)?x2?x?2?y2，A1(?1,0),F2(2,0)，设P(x,y)(x≥2y2又x??1，故y2?3(x2?1)，
32?????????1?1?2于是PA1?PF2?4x?x?5?4?x???5?，当x?1时，取到最小值?2．
8?16?
8．（东城·理·题13）
x2y2直线x?t过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，
ab若原点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【解析】 (1,2)；
b??b??A?t,t?,B?t,?t?，要使原点在以AB为直径的圆外，只需原点到直线AB的距离t大
a??a??bc?b?于半径t即可，于是b?a，e??1????2，故e?(1,aa?a?22)．
9．（东城·文·题7） 已知圆x2?y2?mx?11?0与抛物线y?x2的准线相切，则m的值等于（ ） 44A．?2 B．3 C．2 D．?3 【解析】 D；
m?1?m?抛物线的准线为y??1，将圆化为标准方程?x???y2?，圆心到直线的距离为
2?4?1?m2?m??3． 1?422 10．（东城·文·题10）
经过点(?2,3)且与直线2x?y?5?0垂直的直线方程为 ．
x?2y?8?0； 【解析】
1直线2x?y?5?0的斜率为?2，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为
21y?3?(x?2)．
2 11．（东城·文·题14）
x2y2点P是椭圆??1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且?PF1F2的内切圆半径为1，当P在第
2516一象限时，P点的纵坐标为 ．
8【解析】 ；
311PF1?PF2?10,F1F2?6，S?PF1F2?(PF1?PF2?F1F2)?1?8?F1F2?yP?3yP．
22
12．（宣武·理·题6）
x2y2x2y2?1(m,n,p,q均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一若椭圆??1与双曲线?pqmn个公共点，则|PF1|?|PF2|等于（ ） A．p2?m2 【解析】 C；
由题设可知m?n，再由椭圆和双曲线的定义有|PF1|?|PF2|?2m及
B．p?m
C．m?p
D．m2?p2
|PF1|?|PF2|??2p，两个式子分别平方再相减即可得|PF1||PF2|?m?p．
13．（宣武·文·题8）
x2y2设圆C的圆心在双曲线2??1(a?0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线
a2l:x?3y?0截得的弦长等于2，则a的值为（ ） A．2 【解析】 A；
圆C的圆心C(a2?2,0)，双曲线的渐近线方程为2x?ay?0，C到渐近线的距离为
B．3 C．2
D．3
d?2a2?22?a2故圆C方程(x?a2?2)2?y2?2．由l被圆C截得的弦长是2及圆C?2，a2?21?3?1?a?2．
的半径为2可知，圆心C到直线l的距离为1，即
14．（崇文·文·题4）
若直线y?x?b与圆x2?y2?2相切，则b的值为 （ ）
A．?4 B．?2 C．?2 D．?22 【解析】 B；
b?2?b?2． 2 15．（朝阳·理·题6）
x2y2已知点P(3,?4)是双曲线2?2?1(a?0,b?0)渐近线上的一点，E,F是左、右两个焦点，若
ab????????EP?FP?0，则双曲线方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2A．?B．?C．?D．??1 ?1 ?1 ?1
3443916169【解析】 C；
????????不妨设E??c,0?,F?c,0?，于是有EP?FP??3?c,?4???3?c,?4??9?c2?16?0．
3于是c2?25．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为y??x，点P不在其上．排
4除D．
16．（朝阳·理·题10）（朝阳·文·题13）
圆x2?y2?4被直线3x?y?23?0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ．
π【解析】 ．
3圆心到直线的距离为d?得??233?1?3．不妨设劣弧所对的圆心角为?，于是cos?2?3．解2π． 3y-2O2x3x+y-23=0
17．（朝阳·文·题10）
在抛物线y2?2px(p?0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为 ． 【解析】 2；
由抛物线的几何性质，有4?
p?5?p?2． 2二、解答题
18．（海淀·理科·题19）
?3?已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|?2，点?1,?在椭圆
?2?C上．
⑴求椭圆C的方程；
122⑵过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且?AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相
7切的圆的方程．
x2y2【解析】 ⑴设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，由题意可得：
ab椭圆C两焦点坐标分别为F1??1,0?，F2?1,0?．