第二章 气体动理论
并由此说明v 答：令u?vvp，则 dv=du vp 带入麦克斯韦速度分布公式可得 mv4?u22?m?2?2kT2f(v)dv?4??evdv?eudu ???2?kT?32令f(u)?4?e?u2u2，即有 42f(u)du??e?uu2du v 1?N4??f(u)du?0N??10u2e?udu 2用分布积分法可解出 ?N?0.4276 N由此可见，v 2-7 气体分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个最大？那个最小？ 答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。 在数值上，此三个速率大小关系是 vp?v?v2 2-8 1mol的水蒸汽（H2O）分解成同温度的氧气和氢气，内能增加了百分之几？（提示：将水蒸汽视为理想气体，不计振动自由度，水蒸汽的自由度为6） 答：由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为 1H2O?H2?O2 2 18 第二章 气体动理论 根据理想气体的内能公式E?iRT，分别计算H2O、H2、O2的内能为 2EH2O?6RT?3RT 25EH2?RT 25EO2?RT 2根据化学方程式可知水分解后的内能E2为 151515 E2?EH2?EO2?RT??RT?RT 22224水分解前的内能为 6E1?EH2O?RT?3RT 2 分解前后内能增量为 153?E?E2?E1?RT?3RT?RT 44于是，内能增加的百分比为 3RT?E14???25% E13RT4 2-9 若盛有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强和分子数密度各减为原来的一半，气体的内能和分子平均动能是否改变？为什么？ 答： 根据理想气体的温度公式 3??kT 2由于温度不变，气体分子平均动能没有改变。但由于分子数密度减少了，容器中的气体质量减小，根据理想气体的内能公式 E?MiRT ?2可知，气体的内能减少。 2-10 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移？分子热运动和分子碰撞在迁移现象中起什么作用？ 答：在气体的迁移现象中本质上是气体的动量、能量或质量从一部分向另一部分的定向迁移。动量、能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰撞实现的。 练习题 19 第二章 气体动理论 2-1 每秒有1023个氧分子以500m·s-1的速度沿与器壁法线成45o角的方向撞在面积为2?10?4m2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大? 解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为 f?t?2mvcos450 每秒内全部N个分子对器壁的作用冲量，即冲力为 F?N?2mvcos450 根据压强定义式得： FN2mvcos450p===SS1023创232创10-3500 cos450= 23-46状0210创210=1状88104(Pa) 2-2 目前，真空设备内部的压强可达1.01?10?10Pa，在此压强下温度为27℃时1m3体积中有多少个气体分子? 解：由 p?nKT得 p1?01?10?1010?3n???2?45?10(m) ?23KT1?38?10?300 2-3 一个容器内储有氧气，其压强为1.01?105Pa，温度为27℃，计算:(1)气体分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子平均平动动能；（4）分子间的平均距离（设分子均匀等距排列）。 解：由题意知 p?1.01?105Pa、T?273.15K （1） 分子数密度可由下式求出： p1.01?105n???2.44?1025(m?1) ?23kT1.38?10?273.15（2） 设氧气分子的密度为?，每个分子的质量为m,则 ??nm 设分子的摩尔质量为?，1mol气体所含的分子数为NA（阿伏伽德罗常数），则??NAm，m??NA，将其带入上式得 nμ2.44?1025?32?10?3?3ρ???1.30(kg?m) 23NA6.023?10（3） 分子平均平动动能可由温度公式求出 20 第二章 气体动理论 33kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21(J) 22（4） 由分子数密度可知每一个分子所占据的空间为 1V? n此空间为正方体，相邻的两个分子的间距即为 ε?d?3V?31n?31/2.44?1025?3.45?10?9(m) 2-4 2.0?10?2kg的氢气装在4.0?10?3m3的容器内，当容器内的压强为3.9?105Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？ 解：由理想气体状态方程pV?M?T?RT解出 pVμ MR将其带入理想气体的温度公式可得 33pVμkT?k22MR33.9?105?4?10?3?2?10?3?23 ??1.38?10? 22?10?2?8.31?3.89?10?22(J)ε? 2-5 某些恒星的温度可达到1.0?108K，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。在此温度下的恒星可视为由质子组成。试求（1）质子的平均动能；（2）质子的方均根速率。（提示：大量质子可视为由质点组成的理想气体） 解：（1）将质子视为理想气体，由理想气体的温度公式得质子的平均动能为 33??kT??1.38?10?23?1?108?2.07?10?15(J) 22（2）质子的方均根速率可由下式求出 v? 23RT3?8.31?1?108??1.58?106(m/s) ?3?1?102-6 在容积为1 m3的密闭容器内，有900g水和1.6kg的氧气。计算温度为 500℃时容器中的压强。 解：在500℃时，水变为水蒸汽，容器内的压强为 p?p1?p2?n1kT?n2kT?(n1?n2)kT 带入已知条件可得 21 第二章 气体动理论 p?(0.91.623?23?)?6.02?10?1.38?10?773?3?3 1.8?1032?10?6.42?105(Pa) 2-7 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在地球表面上的逃逸速率（11.2?103 m·s-1），各需要多高的温度？若等于它们在月球表面上的逃逸速率（2.4?103 m·s-1），各需要多高的温度？ 解：已知氢气的摩尔质量为μ1?2?10?3kg?mol?1，氧气的摩尔质量为μ2?32?10?3kg?mol?1，由 v2?得 3kT3RT ?mμv2T?μ 3R当v2?11.2?103m?s?1时，由上式可解出氢气分子所需要的温度为 v211.22?106?2?10?3T1?μ1??1.01?104(K) 3R3?8.31氧气分子所需要的温度为 v211.22?106?32?10?3T2?μ2??1.61?105(K) 3R3?8.31当v2?2.4?103m?s?1时，可解出氢气分子所需要的温度为 v22.42?106?2?10?3??T1??μ1?4.62?102(K) 3R3?8.31氧气分子所需要的温度为 v22.42?106?32?10?33T2??μ???7.39?10(K) 23R3?8.31 2-8 CO2气体的范德瓦耳斯常量a?0.37Pa?m2?mol?2，b?4.3?10?5m3?mol?1。0℃时其摩尔体积为6.0?10-4m3?mol?1，计算其压强。如果将其当作理想气体，压强又为多少？ 解：（1）由范德瓦耳斯方程 a(p?2)(V?b)?RT V解得 22