第二章 气体动理论
p?RTa?2 V?bV带入已知数据得
RTa?2V?bV8.31?2730.37 ???4?5?426.0?10?4.3?10(6.0?10)p??3.06?106Pa（2）若将气体当作理想气体，由pV?RT可得
p?
RT8.31?2736??3.78?10Pa ?4V6.0?102-9 质量为6.2?10?14g的粒子悬浮在27℃的液体中，观测到它的方均根速率
为1.40 cm·s-1 。（1）计算阿伏伽德罗常量；（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布，计算该粒子的平均速率。
解:（1）将在液体中的粒子运动看作理想气体的运动，则由理想气体的温度公式可得
1233R mv?kT?T222NA由此解得
NA?3RTmv2?6.15?1023(mol?1)
（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布，由麦克斯韦速率分布规律可求出粒子
的平均速率为
8kT8?1.38?10?23?300?2?1 v???1.3?10m?s?14?3?m3.14?6.2?10?10
?1?2-10 由麦克斯韦速率分布计算速率倒数的平均值??。
?v?解: 由麦克斯韦速率分布函数可得
?1?11m()??f(v)dv??4?()e00vvv2?kT32mv2?2kTv2dv?2?m?2kT
2-11 有N个粒子，其速率分布函数为 f(v)?dN?C （0 第二章 气体动理论 f(v)?0 （v>v0） （1） 画出该粒子的速率分布曲线 （2） 由v0求出常量C （3） 求粒子的平均速率 解: （1）粒子的速率分布曲线如图2-2所示 （2） 由于?f(v)dv??Cdv?Cv0 001v0f(v) C 由分布函数的归一化条件 ?f?v?dv?1，得 0?Cv0?1 则 O vo 图2-2 v C?1 v0（3） 粒子平均速率为 v??vf(v)dv??v00?V0v1dv?0 v02 2-12 用流体静力学原理及理想气体压强公式导出等温条件下单位体积中大气分子数随高度的变化为 n?n0e??gZ(RT) 其中，n0为Z＝0处单位体积的分子数，?为分子平均摩尔质量。 解:由流体静力学可知，大气压强随高度的增加而减小，并且满足 dp???g dZ其中，p为大气压强、Z为高度、?为大气分子的密度、g 为重力加速度。 将上式分离变量，可写为 dp???gdZ 设分子质量为m、分子数密度为n，则??nm。将其带入上式，得 dp??nmgdZ 由理想气体压强公式p=nkT，考虑到等温条件，可得dp=kTdn。将其带入上式 ，整理后可得 dnmg??dZ nkT 积分上式，并考虑到Z=0时，n=n0，可得 24 第二章 气体动理论 ?mgZ n?n0e(kT)?n0e??gZRT( ) 2-13 假定海平面处的大气压为1.00?105Pa，大气等温并保持0℃，那么，珠穆朗玛峰顶（海拔8882m）处的大气压为多少？ 解：由大气压强公式可得： p(z)?p0e带入已知数据可得： ?mgZkT?p0e??gZRT p(z)?1.00?105?e ?29?103?9.8?88828.31?273?3.29?104(Pa) 2-14 储有氧气的容器以速率v＝100m·s-1运动，假设容器突然停止运动，全部定向运动的动能转变为气体分子热运动动能，容器中氧气的温度将上升多少? 解:设每一个分子的质量为m，1mol气体的质量为?，总分子数为N，则全部分子的定向运动动能为 1 EK?N?m2v 2按照能量均分原理，每一个分子的热运动动能为 i ??kT 2N个分子的热运动动能为 iE?N?kT 2温度变化时，热运动动能的增量为 i?E?Nk?T 2按题意Ek??E，并考虑到氧气的自由度为5，可得 N125mv?Nk?T 22即 mv2μv232?10?3?1002?T????7.7(K) 5k5R5?8.31 2-15 在容积为2.0?10?3m3的容器中，有内能为6.75?102J的刚性双原子分 子理想气体。（1）计算气体的压强；（2）设分子总数为5.4?1022个，计算气体的温度和分子的平均平动动能。 解：（1）由理想气体状态方程 pV? M?RT 25 第二章 气体动理论 和理想气体内能公式 E?Mi?RT μ2再考虑到n?N，可得 V2E2?6.75?1025p???1.35?10(Pa) ?3iV5?2.0?10（2）由 p?nkT 得 ppV1.35?105?2.0?10?3???3.62?102(K) T?22?23nkNk5.4?10?1.38?10??kT??1.38?10?23?3.62?102?7.49?10?21(J) 2-16 一个长为L、半径R1?2cm的蒸汽导管，外面包围一层厚度2cm的绝热材料（其热导率?＝0.1 W·m-1·K-1）。蒸汽的温度为100℃，绝热层外表面的温度为20℃。单位时间单位长度传出的热量是多少？ 解：如图2-3所示，设蒸汽导管的半径为R1，绝热层的外半径为R2。在绝缘层中取内半径为r、外半径为r+dr的薄层，由热传导定律 ?Q?T????S ?t?x3232可知，单位时间内通过此薄层的热量为 dQdT????2?rL dtdrR1 r dr 由于绝缘层内外温度恒定，所以在稳 态条件下，dQ/dt是常数。将上式移项并积分得 dQT2R2dr ?dT??Ldt? T1R12??r dQRT2?T1??Ldtln2 2??R1L R2 图2-3 于是，单位时间内单位长度的绝缘层传出的热量为 q?dQ2??(T1?T2)? R2LdtlnR126 第二章 气体动理论 2??0.1?(100?20)4ln 2?71.8(W?m-1)? 27