北 京 天 津 石 家 庄 太 原 呼和浩特 沈 阳 长 春 哈 尔 滨 上 海 南 京 杭 州 合 肥 福 州 南 昌 0.1156286 0.0952952 0.089619 0.0799524 0.0607048 0.099781 0.0831714 0.0998381 0.0766952 0.1075238 0.0921143 0.1211333 0.0681238 0.0814 0.026629 0.045924 0.047848 0.0688 0.047124 0.060305 0.03381 0.046257 0.019743 0.030724 0.028152 0.023029 0.009952 0.056867 0.051533 0.041438 0.037305 0.021752 0.035581 0.036276 0.047124 0.048038 0.046952 0.043943 0.052952 0.030724 0.033829 0.04341 305.2571 312.4381 332.0095 323.0667 361.5333 333.3238 340.8095 317.0381 340.3429 308.8381 326 308.019 352.9048 346.9238 对2012年各省会的空气质量进行分析比较，建立基于主成分分析的综合评价模型，此题中选可吸入颗粒、二氧化硫以及二氧化氮为影响城市空气质量的主成分，利用matlab对这三个指标进行主成分分析，相关系数矩阵的特征值[3]以及贡献率为：
表2 相关系数矩阵的特征值以及贡献率 序号 1 2 3 特征值 1.875 0.6918 0.4332 表3 三个特征值对应的特征向量 贡献率 62.5007 23.0594 14.4399 从此表看出效果很好，用这三个指标进行综合评价，三个特征值对应的特征向量： 特征向量 第一个特征向量 第二个特征向量 第三个特征向量 由此得到三个指标分别为： x1 x2 x3 -0.6252 -0.5614 -0.5406 0.0565 0.6591 -0.7500 0.7773 -0.5004 -0.3812 y1??0.6252x1?0.0565x2?0.7773x3y2??0.5614x1?0.6591x2?0.5004x3 y3??0.5406x1?0.7500x2?0.3812x3y3反从系数可看出y1反映了可吸入颗粒的比重，y2反映了二氧化硫的比例，
映了二氧化氮的比例，把各地区原始三个指标的标准化数据代入三个指标的表达
式，就可以得出各个省会的三个主成分值，分别以三个主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评价模型：
Z?0.625007y1?0.230594y2?0.144399y3 将各地区的可吸入颗粒、二氧化硫以及二氧化氮的数据代入上式，可得到各地区空气质量水平综合评价值以及排序结果如下表：
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表4 各地区空气质量水平综合评价值以及排序
地区 名次 综合 评价值 地区 名次 综合 评价值 地区 名次 综合 评价值 地区 名次 综合 评价值
乌鲁木齐 1 2.6001 南昌 9 0.3073 石家庄 17 -0.0251 合肥 25 -0.3965
兰州 2 1.2494 成都 10 0.2783 广州 18 -0.0548 太原 26 -0.4960
武汉 3 0.8841 沈阳 11 0.2155 长沙 19 -0.0801 银川 27 -0.5374
西安 4 0.8644 天津 12 0.1852 上海 20 -0.1436 福州 28 -0.9629
郑州 5 0.7060 南京 13 0.1832 重庆 21 -0.1907 南宁 29 -1.2492
北京 6 0.5387 长春 14 0.1400 贵阳 22 -0.2818 拉萨 30 -1.9240
哈尔滨 7 0.5297 昆明 15 0.1186 济南 23 -0.3678 海口 31 -2.1518
杭州 8 0.4007 西宁 16 0.0502 呼和浩特 24 -0.3898 - - -
通过结果发现， 2012年乌鲁木齐、兰州、武汉的空气质量综合水平良好，海口、拉萨以及南宁的空气质量水平有待改善。 5.2 问题二的模型建立与求解 5.2.1模型的建立
不采取节能减排依照过去几年的主要统计数据，对我国大气环境的发展趋势做出预测分析，建立灰色预测模型GM(1,1)。由已知数据，对于2005-2007年某项指标记为矩阵A?(aij)3?3，每年的各数据值记为：
x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3)) （1） 对x(0)作一次累加，则
ix(1)(1)?x(0)(1),x(1)(i)??xk?1(0)(k)(i?2,3)
记：
x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3)) （2） 取x(1)的加权均值，则：
z(1)(k)??xz(1)(k)?(1??)x?(z(1)(1)(1)(k?1)(k?2,3)
?为确定参数，记：
(1)(2),z(1)(3)) （3）
GM(1,1)的白化微分方程方程模型为：
dxdt?ax(1)?b （4）
其中a是发展灰度，b是内生控制灰度。
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由于
x(0)(1)(1)(k)?x(1)(k?1)?x(0)(k)
(1)取x(k)为灰导数，z(k)为背景值，则方程
x(0)dx(1)dt?ax?b的灰微分方程为：
(k)?az(1)(k)?b(k?2,3)
或
1?(0)(k)??az???k??b?k?2,3,?,6? （5） x
即矩阵形式为：
Y?B(a,b)T
?z(1)其中
??z(1)(2)(0)(0) Y?(x(2),x(3)),B??1?(3)??。 1?T用最小二乘法求得参数的估计值为：
?)T?(BTB)?1BTY （6）?,b (a 于是方程x(0)(k)?az(1)(k)?b(k?2,3)有相应的（特解）：
?at?(0)(t?1)?x(0)(1)? xe? ??a?a??b?b则：
b??ak??a(k?1)?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k)?x(0)(1)?x(e?e)??a?? （7）
由（7式）可以得到2012年的平均值为x，则预测2012年的总值为Z?12x。
根据历史数据，可以统计计算出2012年的指标占全年总值的比例ui，即：
3?a ui?j?13i?1j?1ij （8）
ij??a则u??u1,u2,?,u12?，于是得出2012年的指标值。 5.2.2 模型的求解
以北京为例，计算可吸入颗粒的2008-2010的预测值： 2005-2007数据为x(0)?(0.141,0.162,0.148)，运用matlab编程得到2008-2010年可吸入颗粒的预测值为0.109418，0.112212，0.115141，将预测值与实际值进行比较如下表所示：
表5 可吸入颗粒预测值与实际值 年份 2008 2009 2010 预测值 0.109418 0.112212 0.115141 实际值 0.096645 0.095226 0.09519 用相同的方法计算二氧化硫的2008-2010的预测值，2005-2007数据为：
运用matlab编程得到2008-2010年二氧化硫的预测值为：0.05472，0.056117，
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x(0)?(005,0.052,0.047)0.057583，将预测值与实际值进行比较如下表所示：
表6 二氧化硫预测值与实际值 年份 2008 2009 预测值 0.05472 0.056117 实际值 0.048226 0.043484 同理可以得出二氧化氮预测值与实际值如下表： 表7 二氧化氮预测值与实际值 2010 0.057583 0.040323 年份 2008 2009 2010 预测值 0.042127 0.044238 0.045393 实际值 0.040774 0.040419 0.040323 由第一题算出这三个主成分的权重分别为0.625007、0.230594、0.144399，将以上三表的预测数据进行加权平均，运用matlab得到2005-2010年空气质量水平数据如下表：
表8 2005-2010年空气质量水平数据
年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 加权 0.0836 0.0859 0.0814 0.0872 0.0895 0.0918 平均值 将2007年之前的数据（未采取节能减排工作）与2008-2010年的数据组合画图，得到未采取节能减排工作我国大气环境发展趋势图
图3 未采取节能减排工作我国大气环境发展趋势图
由图可知若不采取节能减排工作，我国大气环境污染程度随时间的增加而越来越严重，所以，我国大气环境的发展趋势不容乐观。 5.3 问题三模型的建立与求解
基于问题二，讨论节能减排对大气环境质量改善所起的作用，由第一题算出这三个主成分的权重分别为0.625007、0.230594、0.144399，将问题二中的表（5）到表（7）的实际值与预测值相同的方法进行加权平均，得到如下表：
表9 各年份的实际值与预测值的加权平均值 年份 预测值加权平均值 实际值加权平均值
2005 0.0836 0.0836 2006 0.0859 0.0859 2007 0.0814 0.0814 9
2008 0.0872 0.0774 2009 2010 0.0895 0.0918 0.0754 0.0749 将各年份加权平均后的预测值与实际值利用matlab编程画图，得到未采取节能减排工作我国大气环境发展与采取节能减排后的对比趋势图，如下：
图表 4未采取节能减排工作的大气环境发展与采取节能减排后对比趋势图
由图（4）可知未采取节能减排工作使我国大气环境发展污染程度越来越严重，而采取节能减排工作我国大气环境发展污染程度越来越低，节能减排极大的改善了我国的大气环境质量，也显示出节能减排的重要性。 5.4问题四的模型的建立与求解
针对于问题要求对节能减排实施前后各省会城市大气环境质量改善情况进行科学分析，可通过运用Excel分别对05年到10年的31个城市的可吸入颗粒物、二氧化硫、二氧化氮这3项指标和达到及好于二级的天数进行绘图，基于所绘图过多这一问题，可根据第一问中对各城市的排名选取出北京（图5），拉萨（图6）等具有代表性城市的污染物折线图。
05年至10年污染物的变化折线图05年至10年污染物的变化折线图270265260可吸入颗粒物二氧化硫二氧化氮0.160.140.120.10.080.060.040.020255250245240235达到及好于二级的天数年年年年年0920202005年2006年2007年2008年2009年2010年050607082020202010年图 5 05年至10年乌鲁木齐4项指标的变化折线图
05年至10年污染物的变化折线图
05年至10年污染物的变化折线图350300250可吸入颗粒物二氧化硫二氧化氮0.180.160.140.120.10.080.060.040.020200150100500达到及好于二级的天数年年年年年0920202005年2006年2007年2008年2009年2010年050607082020202010年
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