函数的单调性和奇偶性
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数上的单调性.
证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0
则
∵x1＞0，x2＞0，∴
∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0
∴
上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差)
[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间
上的任意实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1
∵0＜x1x2＜1
故
∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)
，即f(x1)-f(x2)＞0
上是减函数.
上是增函数；在今后的学习中经常
总结升华：可以用同样的方法证明此函数在
会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
解：(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在增.
上递减，在上递减，在上递
(2)
∴图象为
∴f(x)在
上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2) (3).
解：(1)
∴函数的减区间为
画出函数图象，
，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，
其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，
则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为
(0，+∞).
总结升华：
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；
[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与
的大小.
解：
又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则
.
4. 求下列函数值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.
解：(1)位得到，如图
2个单位，再上移2个单
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2) (2)画出草图
；
1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)
举一反三：
.
【变式1】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.
思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即
可得到我们相对熟悉的形式.域.
，第二问即是利用单调性求函数值
解：(1)
上单调递增，在上单调递增；
(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1，3]时f(x)的值域为
.
5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上是增函数，求：(1)实数a的取值
范围；(2)f(2)的取值范围.
解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知
只需；
(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4
∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
.
类型四、判断函数的奇偶性