6. 判断下列函数的奇偶性：
(1) (2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6) (7)
思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解：(1)∵f(x)的定义域为 (2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域
，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(5)
，∴f(x)为奇函数；
(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(7)
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)
，∴f(x)为奇函数.
； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1；
(4).
思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断. 解：(1)
(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；
；
(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1
∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；
(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
举一反三： 【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.
解：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)
即y=-x2-x又f(0)=0，
，如图
9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.
解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|) 而|a-1|，|a|∈[0，3]
.
类型六、综合问题
10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象重合，
设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)； ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)； ③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)； ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a). 答案：①③. (1)
11. 求下列函数的值域：
(2)
(3)
的图象与f(x)
思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围. 解：(1)
；
(2)经观察知，，
；
(3)
令
.
12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2
(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1
3°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a
，如图
13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2
再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3 ∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8)
.
14. 判断函数上的单调性，并证明.
证明：任取0＜x1＜x2，
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0 (1)当
时
0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0 ∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)
(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，
上是减函数.
上是增函数.
难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.
15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当x≥a时，
[1]