昆明理工大学2004级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题4分，共32分） 1．设函数z?f(),f可微，则x23yx?z?z?y? . ?x?y2．曲线x?t,y?t,z?t在t=1处的法平面方程为： . 3．设区域D由y?x,x?2及y?231所围，则化二重积分I???f(x,y)d?为先x后y的二次积xD分后的结果为 .
4．设L为圆弧：x2?y2?2,y?0，则曲线积分I??(x2?y2)ds . L5．设?:z?x2?y2(0?z?1)，则曲面积分I??2ds= .
?1(?1)n6．级数?[n?n]收敛于 .
3n?12?7．幂级数?nxn?1的收敛半径R= ，收敛区间为 .
n?1?8．二阶常系数非齐次线性微分方程4y''?12y'?9y?e要求计算）
二．解答下列各题（每小题7分，共28分）
3?x2的特解形式为y*= （不.1．求函数z=F(,)?0，其中F具有一阶连续偏导数，求dz. 2．●讨论z?4(x?y)?x2y2的极值. 3．将函数f(x)?4．求微分方程
yxzz3展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间. 22?x?xdy1?的通解. dxxcosy?sin2y三．（10分）设L为x2?y2?a2(a?0)沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分
I??xy2dy?x2ydx.
L四．（10分）求由球面x2?y2?(z?a)2?a2及z2?x2?y2所围成的立体的体积.
五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分I???4xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy，其中?是球面
?x2?y2?z2?1外侧的上半部分.
六、（10分）求f(x)，使曲线积分I??L[y(2?xy)?f(x)y]dx?[x2y?f??(x)]dy与路径无
关，其中f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0,f??(0)?1.
2004级高等数学[下]期末试卷参考解答
一．填空题（每小题4分，共32分） 1、0； 2、6x?9y?2z?17?0; 3、1dy2??121yf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx; 4、22?;
1y225． 22?; 6．略; 7．略. 8．axe23?x2
二． 1．求函数z=F(,)?0，其中F具有一阶连续偏导数，求dz.
yxzzyxyxF1(,)dy?F2(,)dxyxzdy?ydzyxzdx?xdzzzzz解：dz?F1(,),?dz?z. ?F(,)222yxyxzzzzzzz2?F1(,)y?F2(,)xzzzz2．2．zx?4?2xy2?0,zy??4?2x2y?0,得驻点（32，-32）， 由于A?zxx??2y2,C?zyy??2x2,B?zxy??4xy,AC?B2?0,知该函数没有极值。 4．解
dy1dx??xcosy?sin2y，此为一阶线性方程，同乘以 可变为dxxcosy?sin2ydy?coydye??e?siny得(xe?siny)??e?sinysin2y，积分得通解
xe?siny??2[siny?1]e?siny?c
三．解：I??L?lxy2dy?x2ydx??xy2dy?x2ydx，其中l为从原点A（a，0）到O(?a,0)的
l直线段，利用格林公式得
I??2234(x?y)dxdy?0?d?rdr?a. ????004D:x2?y2?a2,y?0?a??z?a?a2?x2?y2?四．解：V???(a?a?x?y?x?y)dxdy,由??交线
22???z?x?y222222?a?z?x2?y2?a5?a322,由极坐标V??d??(a?a?r?r)rdr?. ?006?z?a五．解：I??????04xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy???4xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy，其中
?0?2??0:z?0，高斯公式I????4zdv?0?4?d??d??r3sin?cos?dr??.
?00021六．解：由条件得
?P?Q，即2?2xy?f?(x)?2xy?f??(x)，f??(x)?f?(x)?2， ??y?x此为二阶非齐次线性微分方程，又由r2?1?0，得r??i，对应齐次方程通解：
f(x)?c1cosx?c2sinx，又??0不是特征根，故设：y*?A，代入方程得A?2，
故非齐次线性微分方程通解为 由
f(x)?c1cosx?c2sinx?2
(0)?0,f'(0)?1，得c1f'(x)??c1sinx?c2cosx，f??2,c2?1
?f(x)??2cosx?sinx?2
昆明理工大学2005级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题4分，共32分）
?2z? . 1．设函数z?x?y?4xy,则?x?y44222．设z?exy，则dz? . 3．曲线x?1?2t,y?2?t,z?t在t=1处的法平面方程为 .. 4．交换二次积分次序，则?dy?022yy2212f(x,y)dx? .
5．设L为圆周：x2?y2?a2，则曲线积分I??L(x2?y2)nds .
6．当∑为xoy平面内的一个闭区域D时，则曲面积分??dS? .
?7．微分方程xy'?ylny?0的通解为 . 8．微分方程y''?6y'?13y?0的的通解为 . 二．解答下列各题（每小题7分，共28分）
1．z?z(x,y)由方程??cx?az,cy?bz??0所确定，其中?具有连续的偏导数，求2．计算二重积分
是由y?1,y?x2所围成的闭区域. (x?y)d?,其中D??D?z?z,. ?x?y3．利用高斯公式计算曲面积分I???xzdydz?(x?22y?3)dzdx?(2?y2z)dxdy，其中?是球
面x2?y2?z2?a2的外侧. 4．求微分方程2ydx?6x?y2的通解. dy三．（10分）某厂要用铁板做成一个体积为4m3的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少
时，才能使用料最省. 四．（10分）求由曲面z?x2?y2及z?8?x2?y2所围成的立体的体积. 五．（10分）微分方程2y''?y'?y?2ex的通解. 六．（10分）曲线积分
?Lxy2dx?y?(x)dy与路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且 xy2dx?y?(x)dy.
?(0)?0，计算?
(1,1)(0,0)2005级高等数学[下]期末试卷参考解答
一． 1．?16xy; 2．dz?exy(xdy?ydx); 3．2(x?3)?2(y?3)?4．?4x01(z?1)?0; 2dx?xf(x,y)dy; 5．2?a2n?1； 6．??d?=区域D面积. 7．lnlny?lnx?c.
2D8．c1e?3xcos2x?c2e?3xsin2x. 二．1．解:由隐函数求导公式得
c?1c?2?z?z?? ，. ?xa?1?b?2?ya?1?b?22．解：??(x?y)d????xd????yd??2DDDD?{x?0}??yd???dy?01y0ydx?4. 52??a3．解：由高斯公式I????(x?y?z)dv??2224?d??d??rsin?dr?0004?5a. 53??dydxdx3y?6x?y2可变为?x??，4．解2y此为一阶线性方程，同乘以ey?y?3得dydyy2(xy?3)??11?3xy??c. ，积分得通解22y?2y三．解：设长、宽、高分别为x,y,z，则用料S(x,y,z)?xy?2xz?2yz,xyz?4,由拉格朗日乘数法作辅助函数F?x,y,z??xy?2xz?2yz??(xyz?4)，其中?为参数，解方程组
令?Fx,y,z?y?2z??yz0???x??令?Fx,y,z?x?2z??xz0， ???y???F?x,y,z??2x??yz令0?z???xyz?4?x?2z??xz?0x.
由对称性x?y,得?2x??z?0?z??22?xz?4??x?y?2,z?1，即当长、宽、高各取2,2,1时，才能使用料最省.
四．V?222222{[8?(x?y)]?(x?y)}dxdy?2(4?(x?y)]dxdy, ????DD22??z?x2?y2?4?z?8?x?y?交线?由?,由极坐标 22??z?x?y?z?1V?2?d??r(4?r2)dr?8?.
002?2五．解：对应齐次方程通解为y?c1e1x2?c2e?x.由于??1不是特征方程的根，可设特解
x'y?'y?2e得2aex?aex?aex?2ex,?a?1，故所求通解为y*?aex,代入2y'?y?c1?c2e?x?ex.
六．解：由条件得
?P?Q?，即2xy?y??(x),2x???(x)，此为一阶可分离变量的微分方?y?x程，解得?(x)?x2?c,由?(0)?0得c?0，故?(x)?x2.从而
?(1,1)(0,0)xy2dx?y?(x)dy??(1,1)(0,0)xy2dx?yx2dy??(1,1)(0,0)xy(ydx?xdy)
(xy)2(xy)2(1,1)??d??1. (0,0)22(0,0)(1,1)
昆明理工大学2006级高等数学[下]期末试卷
一、填空题（每小题3分，共30分）