数学水平测试训练（22）
1．（本小题满分14分）已知函数f(x)?msinx?2cosx(m?0)的最大值为2. （Ⅰ）求函数f(x)在[0,?]上的单调递减区间； （Ⅱ）?ABC中,f(A??)?f(B?)?46sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是
44?a,b,c，且C?600,c?3，求?ABC的面积．
2．（本小题满分14分）袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同.每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过k次(k?5).
（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数?的数学期望与方差； （Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数?的分布列与数学期望.
?ABDO是BD的中点，3 （本小题满分14分）如图，四面体ABCD中，
和?BCD均为等边三角形，AB?2,AC?6。 （Ⅰ）求证：AO?平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A?BC?D的余弦值； （Ⅲ）求O点到平面ACD的距离.
x2y24. （本小题满分15分）给定椭圆C：2?2?1(a?b?0)，称圆心在原点O，半径为
aba2?b2的圆是椭圆C的“准圆”. 若椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上的一个端
点到F的距离为3.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C
1
都只有一个交点，且l1,l2分别交其“准圆”于点M, N，
（1）当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1,l2的方程. （2）求证：MN为定值.
5.（本小题满分15分）已知函数fn(x)?ln(x?n)?n1n?N*）?（其中n为常数，，
x?nn(n?1)将函数fn(x)的最大值记为an，由an构成的数列?an?的前n项和记为Sn. （Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若对任意的n?N，总存在x?R使（Ⅲ）比较
2
*?xex?1?a?an，求a的取值范围；
1n?fe与an的大小，并加以证明. ??nn?1e?e?n 答案
1（1）由题意，f(x)的最大值为m2?2，所以m2?2=2．而m?0，于是m?2，πππ3πf(x)?2sin(x?)． f(x)为递减函数，则x满足2kπ+≤x?≤2kπ+ ?k?Z?，
4242ππ5π?即2kπ+≤x≤2kπ+，π?k?Z?． 所以f(x)在?0，π?上的单调递减区间为??4?． 44??（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R?c3?=23． sinCsin60ππ化简f(A?)?f(B?)?46sinAsinB，得sinA?sinB?26sinAsinB．
44由正弦定理，得2R?a?b??26ab，a?b?2ab． ① 由余弦定理，得a2?b2?ab?9，即?a?b??3ab?9?0． ②
32将①式代入②，得2?ab??3ab?9?0．解得ab?3，或 ab??（舍去）．
222．（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时， ?的可能取值为1，2，3，4，5，
111111,n?1,2,3,4,5. E??1??2??3??4??5??3, 55555511111D??(1?3)2??(2?3)2??(3?3)2??(4?3)2??(5?3)2??2.
55555（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，
,k，所求概率分布列为 ?的可能取值是1,2,? 1 2 3 … k－1 k 易知P(??n)?P 1 541? 5541()2? 55… 41()k?2? 554()k?1 514444E??[1?2()?3()2??(k?1)?()k?2]?k()k?1 ……2分
555554144444所以， E??[1()?2()2??(k?2)()k?2?(k?1)()k?1]?k()k
5555555上述两式相减，整理得 44444E??1?()?()2??()k?2?()k?1?5[1?()k]
55555?AO?BD 3．解法一：（I）证明：连结OC， ??ABD为等边三角形，O为BD的中点，
?ABD和?CBD为等边三角形，O为BD的中点，AB?2,AC?6，
?AO?CO?3. 在?AOC中，
AO2?CO2?AC2，??AOC?90?，即
3
AO?AC, BDOC?0， AD?面BCD
AO?平面BCD，
（Ⅱ）过O作OE?BC于E,连结AE，
?AE在平面BCD上的射影为OE
?AE?BC ??AEO为二面角A?BC?D的平角。
在Rt?AEO中，AO?3,OE?3AO5 ?二面角,tan?AEO??2,cos?AEO?2OE5A?BC?D的余弦值为
5 5（Ⅲ）解：设点O到平面ACD的距离为h, VO?ACD?VA?OCD，
11?S?ACD?h?S?OCD?AO 33在?ACD中，AD?CD?2,AC?6，S?ACD??6?115 6?22??????22?2?2而AO?3,S?OCD?S315 ?点O到平面ACD的距离为,?h??OCD?AO?2S?ACD515 5解法二：（I）同解法一. （Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则
??O(0,0,0),A(0,0,3) ???B(0,1,0),C(3,0,0),D(0,?1,0)AO?平面BCD， ?平面BCD的法向量
AO?(0,0,3)
设平面ABC的法向量n?(x,y,z) AB?(0,1,?3),BC?(3,?1,0)
?y?3z?0??n?AB?0????n?(1,3,1) 由???n?BC?0??3x?y?0设n与AO夹角为?，则|cos?|?n?AO5?, ∴二面角A?BC?D的余弦值为5|n|?|AO|5。 5（Ⅲ）设平面ACD的法向量为m?(x,y,z),又DA?(0,1,3),DC?(3,1,0)
4
??m?DA?0??y?3z?0??m?(1,?3,1) 设OA与m夹角为?， 则?????m?DC?3x?y?0cos??m?OA5? 5|a|?|OA|设O到平面ACD的距离为h，
h51515 ??h?,?O到平面ACD的距离为OA555x2?y2?1， 4 （Ⅰ）?c?2,a?3,?b?1，?椭圆方程为3准圆方程为x2?y2?4. （Ⅱ）（1）因为准圆x2?y2?4与y轴正半轴的交点为
P(0,2)，
?y?kx?2?设过点P(0,2)且与椭圆有一个公共点的直线为y?kx?2，所以由?x2消去y，2??y?1?3(1?3k2)x2?12kx?9?0. 因为椭圆与y?kx?2只有一个公共点，所以
??144k2?4?9(1?3k2)?0，解得k??1.所以l1,l2方程为y?x?2,y??x?2.
（2）①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率， 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x??3，当l1方程为x?点
3时，此时l1与准圆交于点
?3,1??,3,?1?此时经过
?3,1?（或?且与椭圆只有一个公共点的直线是y?1（或y??1）， 即l2为y?13,?1）
?（或y??1），显然直线l1,l2垂直；同理可证l1方程为x??3时，直线l1,l2垂直. ②当l1,l2都有斜率时，设点P(x0,y0)，其中x0?y0?4.设经过点P(x0,y0)与椭圆只有
22?y?tx?(y0?tx0)?一个公共点的直线为y?t(x?x0)?y0，则?x2消去y，得
2??y?1?3（1?3t2)x2?6t(y0?tx0)x?3(y0?tx0)2?3?0.
由??0化简整理得：（3?x0)t2?2x0y0t?1?y0?0因为x0?y0?4，所以有
2222（3?x0)t2?2x0y0t?(x0?3)?0.设l1,l2的斜率分别为t1,t2，因为l1,l2与椭圆只有
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