第二节 导数的应用
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性属于高考的重点考查内容,常见考查方式有三种:(1)求不考含参函数的单调区间(容易题);(2)求含参函数的单调区间(难点是对参数的讨论,中档向 题);(3)由函数的单调区间(包括两种情况①函数在某区间上是单调增函数或单调减函聚数,②函数在某区间上存在单调区间),求参数的取值范围.高考试卷中本考点通常出现焦 在解答题的第(1)问,有时与不等式交汇,难度不大,所占分值6分左右,并且持续的重点考查 备考 重视对分类讨论和等价转化数学思想方法的训练,强化两种题型的训练:一是求函数的指单调区间,二是已知函数的单调性求参数的取值范围 津
1.(2012年辽宁卷,文8,5分)函数y=x-ln x的单调递减区间为( ) (A)(-1,1] (B)(0,1] (C)[1,+∞) (D)(0,+∞)
解析:由已知得函数的定义域为(0,+∞),y'=x-=
(x>0),
2
令y'≤0得解得0 ∴所求单调递减区间为(0,1]. 答案:B. 2.(2011年辽宁卷,文11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) (A)(-1,1) (B)(-1,+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞) 解析:设g(x)=f(x)-2x-4, 则g'(x)=f'(x)-2, ∵对任意x∈R,f'(x)>2, ∴g'(x)>0,即g(x)为R上的增函数, 又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0, ∴x>-1时,g(x)>0, 即x>-1时,f(x)>2x+4. 故选B. 1 答案:B. 3.(2010年安徽卷,文20)设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0 解:由f(x)=sin x-cos x+x+1,0 sin(x+), 令f'(x)=0,从而sin(x+)=-, 又x∈(0,2π),得x=π,或x=. 当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表: x f'(x) f(x) 因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)与(,2π),单调递减区间是(π,),极小值 (0,π) + ↗ π 0 π+2 (π,) - ↘ 0 π + ↗ (,2π) 为f()=,极大值为f(π)=π+2. 4.(2011年广东卷,文19)设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x-2(1-a)x的单调性. 解:由题意知x>0, f'(x)=+2a(1-a)x-2(1-a) 2 =. (1)当a=1时,f'(x)=>0恒成立, 函数f(x)在(0,+∞)上为增函数. 2 (2)当a≠1时,令g(x)=2a(1-a)x-2(1-a)x+1, 22 Δ=4(1-a)-8a(1-a)=12a-16a+4=4(3a-1)(a-1), 2 ①当a=时,∵g(x)开口向上且Δ=0, ∴g(x)≥0恒成立, ∴f'(x)≥0恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. ②当0恒成立, ∴f'(x)>0恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. ③当01时,Δ>0, 令g(x)=0得x1=或 x2=. (ⅰ)当00且x1+x2>0,x1x2>0, ∴x1>0,x2>0, ∴当x∈(0, ),( ,+∞), f'(x)>0,f(x)为增函数, ∴当x∈( , ), f'(x)<0,f(x)为减函数. (ⅱ)当a>1时,g(x)开口向下Δ>0,得x1<0(舍去),x2>0, ∴x∈(0, ),g(x)>0, f'(x)>0,f(x)为增函数, 当x∈( ,+∞),f'(x)<0,f(x)为减函数, 综上可知当0 3 在(,)上为减函数; 当≤a≤1时,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数; 当a>1时,f(x)在(0,)为增函数,在(,+∞)上为减函数. 利用导数研究函数的极(最)值 该考点主要从以下几个角度进行考查:(1)求函数的极值和最值;(2)由函数的极值求参考数;(3)已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值范围;(4)利用最值证明不等式.这向 类试题在高考试卷中选择题、填空题、解答题都有可能出现,难度中档,所占分值4~5聚分.这类试题是高考考查的热点,且主要涉及多项式函数、幂函数、分式函数、以e为焦 底的对数函数及以e为底的指数函数等 备考 指津 5.(2012年陕西卷,文9,5分)设函数f(x)=+ln x,则( ) 强化对求函数极值和最值的方法步骤的训练,重视分类讨论和等价转化思想方法的运用,注意恒成立问题的解法训练 (A)x=为f(x)的极大值点 (B)x=为f(x)的极小值点 (C)x=2为f(x)的极大值点 (D)x=2为f(x)的极小值点 解析:∵f'(x)=-+= , 当x>2时,f'(x)>0, 当x<2时,f'(x)<0, ∴x=2是极小值点. 答案:D. 2x 6.(2011年浙江卷,文10)设函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)e的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是( ) 4 解析:设g(x)=f(x)e,则g(x)=(ax+bx+c)e, x2 ∴g'(x)=e[ax+(b+2a)x+b+c], 由已知g'(-1)=0, ∴a-b-2a+b+c=0, ∴a=c. 22 ∴f(x)=ax+bx+c可化为f(x)=ax+bx+a, ∴f(x)=0若有根时,两根之积为1. 而D中两根x1<-1,x2<-1,x1x2>1.所以D图一定不成立.故选D. 答案:D. 7.(2010年山东卷,文8)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) (A)13万件 (B)11万件 (C)9万件 (D)7万件 解析:∵y=-x+81x-234,∴y'=-x+81(x>0). 令y'=0得x=9,令y'<0得x>9,令y'>0得0 23 8.(2012年北京卷,文18,13分)已知函数f(x)=ax+1(a>0),g(x)=x+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 23 解:(1)由f(x)=ax+1,g(x)=x+bx, 2 得f'(x)=2ax,g'(x)=3x+b, ∵曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, ∴ ,即 3 2 3 x 2 x 解得a=b=3,c=4, ∴所求a,b的值为a=3,b=3. (2)设P(x)=f(x)+g(x), 32 则a=3,b=-9时,P(x)=x+3x-9x+1, 2 ∴P'(x)=3x+6x-9=3(x+3)(x-1), 令P'(x)=0,得x1=-3或x2=1. ∴x,P'(x),P(x)的变化如下表: x P'(x) (-∞,-3) + -3 0 (-3,1) - 1 0 (1,2) + 2 5