物料衡算式 FxF?Vym?1?Lxm?1?Vym?Lxm （9-52） 相平衡方程
ym?f(x) （9-53）
(3)精馏段与提馏段两相流量的关系 为找出上述方程中精馏段流量V、L与提馏段流量V、L之间的关系，可对图9-19所示的加料板作物料及热量衡算如下
F?L?V?L?V （9-54）
FiF?Li?VI?Li?VI （9-55）
式中F、iF分别为加料流量与每1kmol原料所具有的热焓。须注意：在热量衡算式（9-55）中已应用了恒摩尔流假定，即认为不同温度和组成下的饱和液体焓i及气化潜热r均相等。 联立式（9-54）、式（9-55）可得
L?L?I?iFI?i （9-56） Fq? 若定义
I?iF1kmol原料变成饱和蒸汽所需的热?I?i原料的摩尔汽化热 （9-57）
则由式（9-56）、式（9-57）可得
L?L?qF （9-58） V?V?(1?q)F （9-59） 以上两式中的q称为加料热状态参数。其数值大小等于每加入1kmol的原料使提馏段液体所增加的摩尔数。因此，从q值的大小可以看出加料的状态及温度的高低： q＝0，为饱和蒸汽加料； 0 q>1，冷液加料，此时进料液体的温度低于泡点，入塔后由提馏段上升蒸汽部分冷凝所放出的冷凝热将其加热至泡点，因此q值大于1； q<0，为过热蒸汽加料，入塔后将放出显热成为饱和蒸汽，使加料板上的液体部分气化，因此q值小于零。 精馏塔内的摩尔流率 设精馏塔顶的冷凝器将来自塔顶的蒸汽全部冷凝（这种冷凝器称为全凝器），凝点在泡点温度下部分地回流入塔（泡点回流）。根据恒摩尔流的假定，此时回流液的流量L即为精馏段逐板下降的液体量。由此可得塔内各段气液两相的摩尔流量为 精馏段 ??V?L?D?(R?1)D? （9-60） L?RD ???V?V?(1?q)F?? （9-61） 提馏段 L?L?qF塔顶蒸汽全部冷凝为泡点液体时，冷凝器的热负荷为 Qc?Vrc （9-62） 塔釜热负荷为 QB?Vrb （9-63） 式中 rc——组成为xD的混合液的平均气化液； rb——组成为xw的混合液的平均气化液。 9.4.4 精馏过程的两种解法 方程组的联立求解 设某精馏塔共有N块理论板，其中的第m块板为加料板，最末一块是蒸馏釜。如图9-21所示，釜内液体在蒸馏釜部分气化，离开塔釜的气液两相组成yN与xw可认为互成平衡，故蒸馏釜可视为一块理论板。 由9.4.3可知，对任一非加料板作物料衡算可得式（9-50），对加料板作物料衡算可得式（9-52），而对蒸馏釜作物料衡算（参见图9-21）可得 LxN?1?VyN?Wxw （9-64） 这样，对N块理论板可写出N个物料衡算式。若设回流液体组成为x0,则N个物料衡算式可依次列出如下 第1块板 Lx0-(Lx1?Vy1)?Vy2?0第2块板 Lx1-(Lx2?Vy2)?Vy3?0 ?加料板（第m板） Lxm-1-(Lxm?Vym)?Vym?1?-FxF提馏段任一块板（第n板） Lxn-1-(Lxn?Vyn)?Vyn?1?0最后一块板（第N板） LxN-1-(Wxw?VyN)?0 （9-65） 除此N个物料衡算式之外，对N块理论板还可以写出N个相平衡方程式，即 yn?f(xn) n=1~N （9-66） 通过全塔物料衡算式及塔内摩尔流量的计算，方程组（9-65）中的V、L、V、L、W皆知；若塔顶设全凝器，则x0即为离开第1块塔板的气相组成y1。于是，联立求解N个物料衡算式（9-65）及N个相平衡方程式（9-66），可解出x1至xN及y1至yN共2N个未知数。但由于相平衡方程式（9-66）是非线性的，求解过程必须试差或迭代。具体做法是首先假设一组x（x1至xN），由相平衡方程（9-66）算出一组y（y1至yN），并将其代入方程组（9-65）。此时（9-65）成为一线性代数方程组，可用各种数学方法求解，从而获得每一块板的液相组成x1至xN（即xw）。如此逐次迭代，直至各x值不再变化。 方程组联立求解的必要条件是方程式数目已知，故上述方法主要用于塔板数及加料位置已知的操作型精馏计算。 逐板计算法 方程式（9-65）与式（9-66）也可自上而下逐个求解。若塔顶产品组成xD已知，对于全凝器y1=x0=xD,可首先使用相平衡方程式由y1求x1，然后由方程组（9-65）第一式求y2。根据y2第二次使用相平衡方程式求x2，再由方程组（9-65）第二式求y3。如此交替使用相平衡方程式（9-66）和物料衡算式（9-65），可自塔顶依次求出离开各板的气液两相组成xn和yn。对于设计型问题，塔底液相组成xw也是已知的，当算到离开某块塔板的液相组成xN≤xw，则xN的下标便是所需要的理论塔板数。 逐板计算不必事先知道方程式的数目，故对板数N为待求变量的设计型问题尤为适用。 根据冷凝器（图9-22）的物料衡算式 Vy1?Lx0?DxD （9-67） 可将方程式（9-65）的第一式改写为 ?DxD?Lx1?Vy2?0 （9-68） 于是将方程组（9-65）加料板以上任意前几个衡算式相加，可得 Vyn?1?Lxn?DxD （9-69） 此式对精馏段任一块板均适用。 若任意第n块板位于加料板以下，并将前n个衡算式相加，则得 Vyn?1?Lxn?DxD?FxF （9-70） 9.4.5 精馏塔的操作方程 精馏段操作线方程 方程组（9-65）是各块塔板的物料衡算式，而式（9-69） Vyn?1?Lxn?DxD 是方程组（9-65）前n个式子叠加的结果。这一叠加过程的物理含义，就是自塔顶至 第n块板直接作物料衡算。图9-23所示，取塔顶（包括全凝器）至精馏段第n块板的下方某一截面为控制做物料衡算，其结果显然就是式（9-69）。将式中各项除以V可得 yn?1?LDxn?xDVV （9-71） 设塔顶为泡点回流，L=RD,V=(R+1)D,上式成为 yn?1?R1xn?xDR?1R?1 （9-72） 式（9-72）表明精馏酸任一截面（取在两塔板之间）处，上升蒸汽组成yn+1与下降液体组成xn两者关系受物料衡算式的约束，称为精馏段操作方程。 提馏段操作方程 同样，若取塔顶至提馏段某一块板（自塔顶算起第n板）的下方截面为控制体直接作物料衡算（参见图9-24），可得式（9-70） Vyn?1?Lxn?DxD?FxF 或 Dx?FxFyn?1?Lxn?DVV （9-73） 将式L?RD?qF，V?(R?1)D?(1?q)F代入上式，则 yn?1?RD?qFDxD?FxFxn?(R?1)D?(1?q)F(R?1)D?(1?q)F （9-74） 因DxD?FxF??Wxw??(F?D)xw，上式可写成 yn?1?RD?qFF?Dxn?x(R?1)D?(1?q)Fw(R?1)D?(1?q)F （9-75） 以上两式称为提馏段操作方程，提馏段任意两板之间某截面的气、液两相组成yn+1与xn，皆受此物料衡算式的约束。 操作方程的图示——操作线 如图9-25所示，在y-x图上，精馏段操作线的端点坐标y=xD、x=xD（位于对角线a点），斜率为L/V或R/(R+1)，截距为xD/(R+1)，提馏段操作线的端点坐标为y=xw、x=xw（位于对角线c点），斜率为V。 两操作线的交点可由操作方程式（9-72）、式（9-74）联立求得，令此交点坐标为（xq，yq），则有 L yq?RxF?qxDR?q （9-76） yq?(R?1)xF?(q?1)xDR?q （9-77） 理论板的增浓度 任一块板的浓度特征可由离开该板的蒸汽组成yn与液相组成xn表示，对一理论板yn与xn必满足相平衡方程。这样在y-x图上表征某一理论板的点必落在平衡线上，如图9-26中的B点。 塔中某一截面的浓度特征可用通过该截面的上升蒸汽和下降液体的组成表示，该气液组成必须服从操作线方程。这样，在y-x图上表征某一截面的点必落在操作线上，如表征截面A-A的点和A与表征截面C-C的点C。 A、B、C三点组成一个三角形ABC，此三角形充分表达了某一理论板的工作状态。顶点A、C分别表示板上及板下的两相组成状态，而点B表示离开板的气液两相组成状态，AB表示液体经过该理论板的提纯或增浓程度，BC表示气相经该理论板后的提纯或增浓程度。