学年第二学期期末考试试题1 数学物理方程
一. 填空题（每小题4分，共20分）
?2u?2u21.方程??x?y的类型是
?x2?y22.长为2?的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为xsin2x，初始速度为 cos2x,则其定解条件是
?2u?2u?2?0 的特征线为 3. 方程32?x?y?X\(x)??X(x)?04.已知边值问题?'，则其固有函数Xn(x)= '?X(0)?X(2)?05.方程
x2y\?xy'?(x2?9)y?0 的通解为
二．单项选择题（每小题4分，共20分）
1. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为F(x,t)，侧面绝热初始温度为?(x)，则其柯西问题为（ ）
2??uF(x,t)2?u?a???x2c? .(B) (A) ??t?u(x,0)??(x)?2??2uF(x,t)2?u?a??2?x2c? (D) (C) ??t?u(x,0)??(x)?2??u2?u??a??(x)2??t?x??u(x,0)?f(x,t)
2??2u2?u?2?a??(x)2??t ?x??u(x,0)?f(x,t) 2.偏微分方程
?u?u?2?2u?0的通解是（ ） ?x?y2xy（A）u(x,y)?ef(2x?y) （B）u(x,y)?ef(2x?y) （C）u(x,y)?ef(2x?y) （D）u(x,y)?ef(2x?y)
2xy 1
?2u?2u3.拉普拉斯方程2?2?0的一个解是（ ）
?x?y2222u(x,y)?lnx?yu(x,y)?x?y（A） （B）
1（C）u(x,y)?2x?y2 （D）u(x,y)?eysiny?exsinx
d[J0(?x)]?（ ） 4.导数dx（A）?J1(?x) （B）?xJ0(?x) （C）??J1(?x) （D）?xJ1(?x)
2??u1?u2?u?a(?)(r?1)?2?tr?r?r?u(1,t)?0,u(r,t)?M5. 单位半径的圆板的热传导混合问题 ? ?u(r,0)?f(r)?? 有形如（ ）的级数解。 （A）u(t,r)??Anen?1???a22?ntsin?nr. （B）u(x,t)???Aenn?122?2?a2?ntcos?n
（C）u(t,r)??Anen?12?a2?ntJn(?nr). （D）u(t,r)??Ane?a?ntJ0(?nr)
n?1三．求下列问题的解：（每小题7分，共21分）
2??2u2?u?a?2?t?x2?1.??u(x,0)?sin2x,?u??t?t?0??2u?6x? 2. ? ?x?y?u(x,0)?1,u(0,y)?1?y2?6x2?1???2u?2u?2u?3?22?0?2??x?y?x?y3. ? ?u(x,0)?e2x,?uy?0?e2x??y?
2
四．用适当的法解下列问题：
???1. ????2?2u?2u?2u2?u?a(2?2?2)2?t?x?y?zu(x,y,z,0)?x3?2xyz2,?u?t
t?0?6y2z2??u?2u?2u2?u?a(??)?6z2222. ? ?t?x?y?z??u(x,y,z,0)?x(x2?2y2z)???3. ????2u1?u1?2u??2?022?rr?rr?? ?u?r?R?2Rcos??5Rsin3?r2\五．证明与计算：（每小题6分，共12分） 1. 证明：y?xJ3(x)是方程x
2. 计算
y?xy'?(x2?8)y?0的一个解
?x3J0(x)dx
六．用分离变量法解下列混合问题：（本题13分）
2??2u2?u??t2?a?x2???u(0,t)?u(?,t)?0??u(x,0)?3x(??x),??
?u?tt?0?2sin2x
3